哈夫曼树——二叉树的应用（数据结构）

前言

哈夫曼树是二叉树的应用

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一.几个术语定义

1.路径

由一结点到另一结点间的分支所构成。

（如1到4的路径为1到3,3到4这两个分支构成）

2.路径长度

路径上的分支数目。

（如1到6的路径长度为3, 即1到3，3到5,5到6）

3.树的外部路径长度（EPL）

各叶结点（外结点）到根结点的路径长度之和。

（如这棵树的叶子结点为2、4、8、7，2的路径长度为1,4的路径长度是2,8的路径长度为4,7的路径长度是3，所以树的外部路径长度为1+2+4+3=10）

4.树的内部路径长度（ IPL ）

各非叶结点（内结点）到根结点的路径长度之和。

5.树的路径长度（PL）

PL= EPL+ IPL

IPL = 0+1+2+3 = 6
EPL = 1+2+3+4 = 10
PL = 16

6.权值

为树的叶结点赋予一个权值，一般用于表示出现频度、概率值等。

（就是用于表示叶结点的那个圆圈里的树）

7.扩充二叉树

只有度为 2 的内结点和度为 0的外结点。

（没有度为1的结点的二叉树叫做扩充二叉树）

8.结点的带权路径长度

结点到根的路径长度与结点上权的乘积 （wi*li）。

（结点的带权路径长度就是该结点权值与该结点的路径长度的乘积
如5那个结点的带权路经长度为 5*3=15）

9.树的带权路径长度（WPL）

（我们一般关注的是树的带权路径长度）

树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

二.哈夫曼树的定义

对于具有不同带权路径长度的扩充二叉树：
（具有相同权值的叶子结点，它组成了不同的二叉树，那么这四个结点形成的二叉树它的带权路径长度是不同的）

• 对于同样一组权值，放在外结点上，组织方式不同，带权路径长度也不同；
• 带权路径长度最小的扩充二叉树叫做哈夫曼树；
• 哈夫曼树中权值大的结点离根最近。
（权值最大的叶子结点越靠近根结点，权值最小的叶子结点越远离根结点）

三.哈夫曼树的构造

1.基本思想

使权大的结点靠近根

2.构造过程

例：

（1）以5个叶子结点为例，我们把这个五个权值的结点作为叶子，构成了一棵有五棵树的森林。

（2）首先我们从这五棵树的森林的集合中选取权值最小的两棵树，对它进行合并，2、4合并得到了6这个内结点，接下来把2，4删掉，把6加入进这个集合，此时，这个森林中就包括4棵树7、5、9、6。

（3）接下来，重复，从新的集合中找的最小的两棵树，一个是5，一个是6，在进行合并得到11，再把5、6从集合中删除，把11加入，这个森林就包括7，9，11三棵树。

（4）重复，仍然合并两个最小的7、9得到16，把7、9删除，插入16，这个森林包含两棵树11、16。

（5）同样，把11和16合并得到27，把11和16删除，再加入合并后的27，此时这个森林中只