感悟总结
本文有自己的思路，也有对网络上思路的借鉴，但不保证百分百正确，如有错误不足，希望得到您的指正！
一、平方和（填空题）
小明对数位中含有 2、0、1、9的数字很感兴趣，在1到 40中这样的数包括 1、2、9、10至 32、39和40，共 28个，他们的和是 574574，平方和是 1436214362 。注意，平方和是指将每个数分别平方后求和。
请问，在 1 到2019中，所有这样的数的平方和是多少？
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll sum = 0;
bool check(int x) {
while (x) {
int a = x % 10;
x /= 10;
if (a == 2 || a == 0 || a == 1 || a == 9)
return true;
}
return false;
}
int main() {
for (int i = 1; i <= 2019; i++) {
if (check(i)) sum += i * 1ll * i;
}
cout << sum << endl;
return 0;
}//2658417853
二、数列求值（填空题）
给定数列 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, …，从第 4 项开始，每项都是前 3 项的和。求
第 20190324 项的最后 4 位数字。
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个 4 位整数（提示：答案的千位不为 0），
在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
我们只要后四位，直接对10000取余即可
利用队列
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
queue<int> q;
q.push(1);
q.push(1);
q.push(1);
for (int i = 4; i <= 20190324; i++)
{
int a = q.front();//访问队首元素
q.pop();//弹出队首元素
int b = q.front();//访问第二个数
int c = q.back();//访问第三个数
int sum = a + b + c;
sum%=10000;
q.push(sum);//将前三个元素之和压入队列
}
cout << q.back() << endl;
return 0;
}//正确答案为4659
关于队列的简单用法
入队，如例：q.push(x); 将x 接到队列的末端。
出队，如例：q.pop(); 弹出队列的第一个元素，注意，并不会返回被弹出元素的值。
访问队首元素，如例：q.front()，即最早被压入队列的元素。
访问队尾元素，如例：q.back()，即最后被压入队列的元素。
判断队列空，如例：q.empty()，当队列空时，返回true。
利用数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int a[3+1] = { 1,1,1 };
for(int i = 4; i <= 20190324; i++)
{
int sum = a[0] + a[1] + a[2];
sum %= 10000;
a[0] = a[1];
a[1] = a[2];
a[2] = sum;
}
cout << a[2] << endl;
return 0;
}//正确答案为4659
三、最大求雨量（填空题）
由于沙之国长年干旱，法师小明准备施展自己的一个神秘法术来求雨。
这个法术需要用到他手中的 49 张法术符，上面分别写着 1 至 49 这 49 个
数字。法术一共持续 7 周，每天小明都要使用一张法术符，法术符不能重复使用。
每周，小明施展法术产生的能量为这周 7 张法术符上数字的中位数。法术
施展完 7 周后，求雨将获得成功，降雨量为 7 周能量的中位数。
由于干旱太久，小明希望这次求雨的降雨量尽可能大，请大最大值是多少？
由上面这个图像和题意可以非常明显的看出，实际上题意要求的最大求雨量就是整个图最中间的数，我们只要将最大的16个数按顺序放在右下角的方格里就可以了！
黄色部分按最大的16个数从小到大排列！白色部分可以随意组合，最后可以得到结果为34
四、迷宫（填空题）
下图给出了一个迷宫的平面图，其中标记为 1的为障碍，标记为 0 的为可以通行的地方。
010000
000100
001001
110000
迷宫的入口为左上角，出口为右下角，在迷宫中，只能从一个位置走到这个它的上、下、左、右四个方向之一。
对于上面的迷宫，从入口开始，可以按DRRURRDDDR 的顺序通过迷宫，一共 10 步。其中D、 U、 L、 R 分别表示向下、向上、向左、向右走。
对于下面这个更复杂的迷宫（30 行 50列），请找出一种通过迷宫的方式，其使用的步数最少，在步数最少的前提下，请找出字典序最小的一个作为答案。
请注意在字典序中D<L<R<U。
01010101001011001001010110010110100100001000101010
00001000100000101010010000100000001001100110100101
01111011010010001000001101001011100011000000010000
01000000001010100011010000101000001010101011001011
00011111000000101000010010100010100000101100000000
11001000110101000010101100011010011010101011110111
00011011010101001001001010000001000101001110000000
10100000101000100110101010111110011000010000111010
00111000001010100001100010000001000101001100001001
11000110100001110010001001010101010101010001101000
00010000100100000101001010101110100010101010000101
11100100101001001000010000010101010100100100010100
00000010000000101011001111010001100000101010100011
10101010011100001000011000010110011110110100001000
10101010100001101010100101000010100000111011101001
10000000101100010000101100101101001011100000000100
10101001000000010100100001000100000100011110101001
00101001010101101001010100011010101101110000110101
11001010000100001100000010100101000001000111000010
00001000110000110101101000000100101001001000011101
10100101000101000000001110110010110101101010100001
00101000010000110101010000100010001001000100010101
10100001000110010001000010101001010101011111010010
00000100101000000110010100101001000001000000000010
11010000001001110111001001000011101001011011101000
00000110100010001000100000001000011101000000110011
10101000101000100010001111100010101001010000001000
10000010100101001010110000000100101010001011101000
00111100001000010000000110111000000001000000001011
10000001100111010111010001000110111010101101111000
要求的是步数最少，是一道比较典型的bfs（广搜）的题 ，与2017年的迷宫问题（当时是深搜）大同小异，只是要注意规定了字典序的顺序D<L<R<U，再用栈结构倒序输出。
#include<bits/stdc++.h>
#define MP make_pair//实质上就是个结构体，有两个成员变量first和second
using namespace std;
char a[32][52];//储存0，1信息
bool vis[32][52]; //判断是否为通路，true为可以通过，false为障碍
char s[]="DLRU";//字典序 D下 L左 R右 U上
int dx[]={1,0,0,-1};//向下 向上
int dy[]={0,-1,1,0};//向左 向右
bool ok(int x,int y)
{
return x>=0&&x<30&&y>=0&&y<50&&!vis[x][y]&&a[x][y]=='0';//判断是否符合通路的条件
}
int r[32][52];
void bfs()
{
memset(vis,false,sizeof(vis));//将vis数组内的数据初始化为false
queue<pair<int,int> >Q;//初始化队列
Q.push(MP(0,0));//将结构体MP接到队列尾端
vis[0][0]=true;//初始化入口
int x,y,xx,yy;
while(!Q.empty())//如果队列不为空
{
x=Q.front().first;//队列第一个成员变量first赋值给x
y=Q.front().second;//队列第二个成员变量second赋值给y
Q.pop();//弹出队列第一个元素
for(int i=0;i<4;++i)//开始移动 ，按照字典序的顺序
{
xx=x+dx[i];
yy=y+dy[i];
if(ok(xx,yy))//判断移动的位置是否有障碍
{
vis[xx][yy]=true;//如果没有，将这个位置首先判断为true
Q.push(MP(xx,yy));//将这个位置放入队列中，方便以后的取出
r[xx][yy]=i;//存储方向信息
}
}
}
stack<char>St;//定义栈结构
x=29,y=49;
while(1)
{
St.push(s[r[x][y]]);//将对应的最后的一个字符，即出口的位置压入栈
xx=x-dx[r[x][y]];
yy=y-dy[r[x][y]];
x=xx,y=yy;
if(x==0&&y==0)//表示找到了入口
break;
}
while(!St.empty())//如果栈结构不为空
{
putchar(St.top());//输出栈顶元素
St.pop();//弹出栈顶元素
}
}
int main(){
freopen("maze.txt","r",stdin);//打开文件maze.txt，这个是固定的结构
for(int i=0;i<30;++i)
cin>>a[i];
bfs();
return 0;
}
//DDDDRRURRRRRRDRRRRDDDLDDRDDDDDDDDDDDDRDDRRRURRUURRDDDDRDRRRRRRDRRURRDDDRRRRUURUUUUUUULULLUUUURRRRUULLLUUUULLUUULUURRURRURURRRDDRRRRRDDRRDDLLLDDRRDDRDDLDDDLLDDLLLDLDDDLDDRRRRRRRRRDDDDDDRR
五、RSA解密（填空题）
RSA 是一种经典的加密算法。它的基本加密过程如下。
首先生成两个质数 p, q，令 n = p · q，设 d 与 (p − 1) · (q − 1) 互质，则可找到 e 使得 d · e 除 (p − 1) · (q − 1) 的余数为 1。
n, d, e 组成了私钥，n, d 组成了公钥。
当使用公钥加密一个整数 X 时（小于 n），计算 C = X^d mod n，则 C 是加密后的密文。
当收到密文 C 时，可使用私钥解开，计算公式为 X = C^e mod n。
例如，当 p = 5, q = 11, d = 3 时，n = 55, e = 27。若加密数字 24，得 243 mod 55 = 19。解密数字 19，得 1927 mod 55 = 24。
现在你知道公钥中 n = 1001733993063167141, d = 212353，同时你截获了别人发送的密文 C = 20190324，请问，原文是多少？
质数就是除1和它本身以外不在有其他因数的自然数
- 第一步：利用素数筛求p，q（利用暴力枚举也行）
- 第二步：拓展欧几里得，利用d*e=1%(p-1)(q-1)求e
- 第三步：快速乘+快速幂利用求X=C^e mod n
解释的很详细
参考链接
六、完全二叉树的权值
给定一棵包含 N 个节点的完全二叉树，树上每个节点都有一个权值，按从上到下、从左到右的顺序依次是 A1, A2, · · · AN，如下图所示：
现在小明要把相同深度的节点的权值加在一起，他想知道哪个深度的节点权值之和最大？如果有多个深度的权值和同为最大，请你输出其中最小的深度。
注：根的深度是 1。
【输入格式】
第一行包含一个整数 N。
第二行包含 N 个整数 A1, A2, · · · AN 。
【输出格式】
输出一个整数代表答案。
【样例输入】
7
1 6 5 4 3 2 1
【样例输出】
2
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例， 1 ≤ N ≤ 100000， −100000 ≤ Ai ≤ 100000。
- 完全二叉树不是满二叉树，所以可能为负！，最大值初值要赋负无穷小
- 爆int，要用longlong类型
用dfs可以做
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=-1e18;
const int N=200010;
ll a[N],sum[100],x,Max; //Max表示最大值，x表示层数
int n;
void dfs(int val,long long row)//row表示层数
{
if(val>n) return;//当val大于n终止循环
x=max(x,row);//取层数和x的最大值，用来控制寻找最大值的遍历循环
sum[row]=sum[row]+a[val];//求层数最大值
dfs(val*2,row+1);//递归管层数，row为1，对应val为1
dfs(val*2+1,row+1);//row为2，对应val为2,3
return; //row为3对应val为4,5,6,7 。。。
}
int main()
{
int maxrow;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
dfs(1,1);//从第一层第一个开始深搜
Max=INF;//将最大值初始化为负无穷大
for(int i=1;i<=x;i++)
{
if(Max<sum[i])
{ Max=sum[i];//将最大值赋给Max
maxrow=i;//将最大值的层数赋给maxrow
}
}
printf("%d\n",maxrow);
return 0;
}
利用完全二叉树的性质去做
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100100;
int n,MAX=-1e18;
ll q[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>q[i];
int dep=1,res=1;
for(int i=1;i<=n;i*=2){
ll sum=0;
for(int j=i;j<=i*2-1&&j<=n;j++)
sum+=q[j];
if(sum>MAX)
{
MAX=sum;
res=dep;
}
dep++;
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
七、外卖店优先级
“饱了么”外卖系统中维护着 N 家外卖店，编号 1 ∼ N。每家外卖店都有一个优先级，初始时 (0 时刻) 优先级都为 0。
每经过 1 个时间单位，如果外卖店没有订单，则优先级会减少 1，最低减到 0；而如果外卖店有订单，则优先级不减反加，每有一单优先级加 2。如果某家外卖店某时刻优先级大于 5，则会被系统加入优先缓存中；如果优先级小于等于 3，则会被清除出优先缓存。给定 T 时刻以内的 M 条订单信息，请你计算 T 时刻时有多少外卖店在优先缓存中。
【输入格式】
第一行包含 3 个整数 N、 M 和 T。
以下 M 行每行包含两个整数 ts 和 id，表示 ts 时刻编号 id 的外卖店收到
一个订单。
【输出格式】
输出一个整数代表答案。
【样例输入】
2 6 6
1 1
5 2
3 1
6 2
2 1
6 2
【样例输出】
1
【样例解释】
6 时刻时， 1 号店优先级降到 3，被移除出优先缓存； 2 号店优先级升到 6，加入优先缓存。所以是有 1 家店 (2 号) 在优先缓存中。
【评测用例规模与约定】
对于 80% 的评测用例， 1 ≤ N; M; T ≤ 10000。
对于所有评测用例， 1 ≤ N; M; T ≤ 100000， 1 ≤ ts ≤ T， 1 ≤ id ≤ N。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
vector<int> p[100000];
int vis[100000];//标记大于5的个数
int n,m,t;
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
int ts,id;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&ts,&id);
p[id].push_back(ts);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int num=0;
sort(p[i].begin(),p[i].end());//将每一个id的时间排序
for(int j=0;j<p[i].size();j++)
{
if(j==0)
num+=2;
else
{
if(p[i][j]!=p[i][j-1])
num-=(p[i][j]-p[i][j-1]-1);//减去两个订单之间相隔的时间
if(num<0) //优先级不会是负数，当是负数时，重新赋值成0
num=0;
if(num<=3)
vis[i]=0;
num+=2;
}
if(num>5) vis[i]=1;
}
if(p[i].size())
num-=(t-p[i][p[i].size()-1]);//减去从不在收到订单，到t的时段
if(num<=3)
vis[i]=0;
if(vis[i]==1)
ans++;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
八、修改数组
给定一个长度为 N 的数组 A = [A1,A2,···AN]，数组中有可能有重复出现 的整数。
现在小明要按以下方法将其修改为没有重复整数的数组。小明会依次修改 A2,A3,··· ,AN。 当修改 Ai 时，小明会检查 Ai 是否在 A1 ∼ Ai−1 中出现过。如果出现过，则 小明会给 Ai 加上 1 ；如果新的 Ai 仍在之前出现过，小明会持续给 Ai 加 1 ，直 到 Ai 没有在 A1 ∼ Ai−1 中出现过。 当 AN 也经过上述修改之后，显然 A 数组中就没有重复的整数了。 现在给定初始的 A 数组，请你计算出最终的 A 数组。
【输入格式】
第一行包含一个整数 N。 第二行包含 N 个整数 A1,A2,··· ,AN 。
【输出格式】 输出 N 个整数，依次是最终的 A1,A2,··· ,AN。
【样例输入】 5 2 1 1 3 4
【样例输出】 2 1 3 4 5
【评测用例规模与约定】 对于 80% 的评测用例，1≤ N ≤10000。 对于所有评测用例，1≤ N ≤100000，1≤ Ai ≤1000000。
这道题用标记法很轻松就可完成，也可用set集合去重来做即while(s.count(a[i]) ==1)，和标记法大同小异，但是时间复杂度都是O(n^2），时间上跑不完所有的评测数据。我们可以用并差集进行优化！
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005;
int a[N],b[N],n;
int main(){
scanf("%d",&n);
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
while(b[a[j]]==1)
a[j]++;
b[a[j]]=1;
printf("%d ",a[j]);
}
return 0;
}
并差集优化
#include <bits/stdc++.h>
const int N = 1100010;
int p[N];
int find(int x)
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < N; i ++ ) p[i] = i;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int x;
scanf("%d", &x);
x = find(x);
printf("%d ", x);
p[x] = x + 1;
}
return 0;
}
九、糖果
糖果店的老板一共有 M 种口味的糖果出售。为了方便描述，我们将 M 种 口味编号 1∼ M。
小明希望能品尝到所有口味的糖果。遗憾的是老板并不单独出售糖果，而 是 K 颗一包整包出售。 幸好糖果包装上注明了其中 K 颗糖果的口味，所以小明可以在买之前就知 道每包内的糖果口味。 给定 N 包糖果，请你计算小明最少买几包，就可以品尝到所有口味的糖 果。
【输入格式】
第一行包含三个整数 N、M 和 K。 接下来 N 行每行 K 这整数 T1,T2,··· ,TK，代表一包糖果的口味。
【输出格式】 一个整数表示答案。如果小明无法品尝所有口味，输出 −1。
【样例输入】
6 5 3
1 1 2
1 2 3
1 1 3
2 3 5
5 4 2
5 1 2
【样例输出】 2
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1≤ N ≤20 。
对于所有评测样例，1≤ N ≤100，1≤ M ≤20，1≤ K ≤20，1≤Ti ≤ M。
dp状压
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[(1<<20)+5],INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,k,a[100+5],v;
int main(){
memset(dp,0x3f,sizeof dp);//将dp全部初始化成
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);//n个包，m种口味，一个包k个糖果
for(int i=1;i<=n;++i){
int pos=0;
for(int j=1;j<=k;++j)
{
scanf("%d",&v);
v--;//状压dp，v必减1
pos=pos|(1<<v);//位或运算,当二个二进位有一个为1时，结果就为1
}
a[i]=pos;
}
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=(1<<m)-1;j>=0;--j)
dp[j|a[i]]=min(dp[j|a[i]],dp[j]+1);
if(dp[(1<<m)-1]==INF) cout<<-1<<endl;
else printf("%d\n",dp[(1<<m)-1]);
return 0;
}
十、组合数问题
给 n, m, k， 求 有 多 少 对 (i, j) 满 足 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ min(i, m) 且 C j ≡0(mod k)，k 是质数。其中 C j 是组合数，表示从 i 个不同的数中选出 j 个组成一个集合的方案数。
【输入格式】
第一行两个数 t, k，其中 t 代表该测试点包含 t 组询问，k 的意思与上文中相同。
接下来 t 行每行两个整数 n, m，表示一组询问。
【输出格式】
输出 t 行，每行一个整数表示对应的答案。由于答案可能很大，请输出答案除以 109 + 7 的余数。
【样例输入】
1 2
3 3
【样例输出】
1
【样例说明】
在所有可能的情况中，只有 C1 = 2 是 2 的倍数。
【样例输入】
2 5
4 5
6 7
【样例输出】
0
7
【样例输入】
3 23
23333333 23333333
233333333 233333333
2333333333 2333333333
【样例输出】
851883128
959557926
680723120
【数据规模和约定】
对于所有评测用例，1 ≤ k ≤ 108, 1 ≤ t ≤ 105, 1 ≤ n, m ≤ 1018，且 k 是质数。评测时将使用 10 个评测用例测试你的程序，每个评测用例的限制如下：
评测用例编号 t n, m k
1, 2 ≤ 1 ≤ 2000 ≤ 100
3, 4 ≤ 105 ≤ 2000 ≤ 100
5, 6, 7 ≤ 100 ≤ 1018 ≤ 100
8, 9, 10 ≤ 105 ≤ 1018 ≤ 108
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