斐波那契数列及其相关题目JZ7，8，9，10

最新推荐文章于 2024-08-05 14:46:49 发布

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本文解析了多个经典的动态规划题目，包括斐波那契数列、跳台阶、变态跳台阶及矩形覆盖等问题，提供了递归、动态规划等多种解题思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

JZ7斐波那契数列

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）。
n\leq 39n≤39

 /**
     *   *   空间复杂度O(1)
     * @param n
     * @return
     */
    public int Fibonacci3(int n) {
        if(n <= 0){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1;

        }
        int f1 = 1;
        int f2 = 1;
        int f = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            f = f1 + f2;
            f1 = f2;
            f2 = f;
        }
        return f;
    }

        /**
         * * 【动态规划】
         *   空间复杂度O(n)
         * @param n
         * @return
         */
    public int Fibonacci2(int n) {
        if(n <= 0){
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[n +1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

        /**
         * 【递归方法】
         * @param n
         * @return
         */
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 0){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1;

        }
        return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
    }
}

JZ8跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

/**
     *  空间复杂度O(1)
     */
    public int jumpFloor3(int target) {
        if(target==0||target==1||target==2){
            return target;
        }
        int s1 = 1;
        int s2 = 2;
        int s = 0;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
            s = s1 + s2;
            s1 = s2;
            s2 = s;
        }
        return s;


    }

    /**
     * 【动态规划】
     * 空间复杂度O(n)
     * @param target
     * @return
     */
    public int jumpFloor(int target) {
        if(target==0||target==1||target==2){
            return target;
        }
        int[] dp = new int[target +1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= target ; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[target];
    }


        /**
         * 【递归方法】
         * @param target
         * @return
         */
    public int jumpFloor1(int target) {
        if(target <= 0){
            return 0;
        }
        if(target == 1 || target == 2){
            return target;

        }
        return jumpFloor1(target-1) + jumpFloor1(target-2);
    }

JZ9变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：

方法一：动态规划

状态：
子状态：跳上1级，2级，3级，…，n级台阶的跳法数
f(n)：还剩n个台阶的跳法数
状态递推：
n级台阶，第一步有n种跳法：跳1级、跳2级、到跳n级

跳1级，剩下n-1级，则剩下跳法是f(n-1)

跳2级，剩下n-2级，则剩下跳法是f(n-2)

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-n)

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(0)

f(n-1) = f(n-2)+…+f(0)

f(n) = 2*f(n-1)

初始值：
f(1) = 1
f(2) = 2f(1) = 2
f(3) = 2f(2) = 4
f(4) = 2*f(3) = 8
所以它是一个等比数列
f(n) = 2^(n-1)
返回结果：f(N)

方法二：排列

每个台阶看成一个位置，除过最后一个位置，其它位置都有两种可能性，
所以总的排列数为2^(n-1)*1 = 2^(n-1)

代码：

/**
     * 【动态规划】
     *      * 空间复杂度O(n)
     * @param target
     * @return
     */
    public int jumpFloorII2(int target) {
        int ret = 1;
        for (int i = 2; i <= target; i++) {
            ret *= 2;
        }
        return ret;

    }
    public int jumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0){
            return 0;
        }
        if(target == 1 || target == 2){
            return target;
        }
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= target ; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] * 2;
        }
        return dp[target];
    }


    /**
     * 【移位】
     * 空间复杂度O(1)
     * 时间复杂度O(n)
     * @param target
     * @return
     */
    public int jumpFloorII1(int target) {
        return 1<<(target-1);

    }

JZ10矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

/**
 * 【本质：斐波那契】
 * 我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。
 * 请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
 *
 * n=1  1
 * n=2  2
 * n=3  3
 * n=4  5
 */
public class JZ10 {

    /**
     * 时间复杂度O(n)
     * @param target
     * @return
     */
    public int rectCover2(int target) {
        if(target <= 0){
            return 0;
        }
        if(target == 1 || target == 2){
            return target;
        }
        int first = 1;
        int second = 2;
        int ret = 0;
        for(int i = 3;i<=target;i++){
            ret = first + second;
            first = second;
            second = ret;
        }
        return ret;
    }

    /**
     * 【递归】
     * @param target
     * @return
     */
    public int rectCover(int target) {
        if(target <= 0){
            return 0;
        }
        if(target == 1 || target == 2){
            return target;
        }
        return rectCover(target-1)+ rectCover(target-2);
    }
}