数据结构 第七章（学习笔记二（图的存储结构））

图的存储结构之邻接矩阵

邻接矩阵的定义

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix） 存储方式是用两个数组来表示图。一个 一维数组存储图中顶点信息，一个 二维数组(称为邻接矩阵) 存储图中的边或弧的信息。

图的邻接矩阵实现思路

结点数为n的图G=(V)的邻接矩阵A是n x n的。
将G的顶点编号为V1,V2…Vn(数组下标)
若<Vi,Vj> ∈E，则 A [i][j] = 1，否则 A [i] [j] = 0

实例（有向图）

实例（无向图）

网的邻接矩阵实现思路

结点数为n的图G=(V)的邻接矩阵A是n x n的。
将G的顶点编号为V1,V2…Vn(数组下标)
若<Vi,Vj> ∈E，则 A [i] [j] = Wi,j，否则 A [i] [j] = ∞

实例（无向图）

参考代码实现

#define MaxVertexNum 100
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
typedef struct{
    VertexType Vex[MaxVertexNum];				//点集
    EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];	//边集
    int vexnum,arcnum;			//结点数量，边的数量
}MGraph;

邻接矩阵的性质

1、邻接矩阵法的空间复杂为O(n2), 适用于 稠密图；
2、无向图的邻接矩阵为 对称矩阵；
3、无向图中第 i 行 (第 i 列) 非0元素 (非正无穷) 的个数为第 i 个顶点的度；
4、有向图中第 i 行 (第 i 列) 非0元素 (非正无穷) 的个数为第 i 个顶点的出度(入度）。

问题探索

问题：设图G的邻接矩阵为A,矩阵运算 A的n次 的含义？？？

小提示： 以下 An 代表 A的n次，例如 A2 代表 A的2次。
分析：
A2 [2] [5]=1 * 1 + 0 * 0 + 1 * 1 + 0 * 0 + 0 * 0 = 2
A2 [2] [5] = 2 表示从顶点v2到顶点v5长度为2的路径有 2 条
A3 [2] [5] = 0 * 1 + 0 * 0 + 1 * 1 + 1 * 0 + 2 * 0 = 1
A2 [2] [3] = 1 表示从顶点v2到顶点v3长度为2的路径有 1 条
A3 [2] [5] = 1 表示从顶点v2到顶点v5长度为3的路径有 1 条
结论：
An [i] [j] = x 表示从顶点Vi到顶点Vj长度为n的路径有 x 条；
即：An [i] [j] 表示从顶点Vi到顶点Vj长度为n的路径条数。

图的存储结构之邻接表

邻接表

总体思路 ：为每个顶点建立一个单链表存放与它相邻的边。
顶点表 ：采用顺序存储,每个数组元素存放顶点的数据和边表的头指针；
边表 ：采用链式存储,单链表中存放与一个顶点相邻的所有边,一个链表结点表示一条从该顶点到链表结点顶点的边。

实例（无向图）

实例（有向图）

提示： 下图把顶点当作弧尾建立的 邻接表 ，如果把顶点当作弧头建立，则称为 逆邻接表。

参考代码实现

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{		//边表结点
        int adjvex;				//顶点下标
        struct ArcNode *next；  //指向下一个边表结点的指针
        //Inforype info;		//权值
}ArcNode;
typedef struct VNode{		//顶点表结点
        VertexType data;		//顶点数据
        ArcNode *first;			//指向它的单链表的头指针
}VNode, AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct{
        AdjList vetices;		//定义邻接表
        int vexnum,arcnum;		//顶点数，边数
}ALGraph;

邻接表的特点

邻接矩阵 VS 邻接表

图的存储结构之十字链表

十字链表

十字链表 是有向图的一种链式存储结构。

实例

参考代码实现

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{				//边表结点
    int tailvex,headvex;
    struct ArcNode *hlink, tlink;
    //Inforype info;
}ArcNode;
typedef struct vNodet{				//顶点表结点
    VertexType data;
    ArcNode *firstin, *firstout;
]VNode;
typedef struct{						//十字链表
    VNode xlist[MaxVertexNum];
    int vexnum,arcnum;
}GLGraph;

十字链表的优点

十字链表的好处就是因为把 ** 邻接表** 和 逆邻接表 整合在了一起 , 这样既容易找到以Vi为尾的弧,也容易找到以Vj为头的弧,因而容易求得顶点的出度和入度。
​十字链表除了结构复杂一点外,其实创建图算法的肘间复杂度是和邻接表相同的,因此,在有向图的应用中,十字链表也是非常好的数据结构模型。

图的存储结构之邻接多重表

邻接多重表

邻接多重表：无向图的一种存储结构。

实例

参考代码实现

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{				//边表结点
    int ivex,jvex; 
    struct ArcNode *ilink, *jlink;
    //Inforype info;
    //bool mark;
}ArcNode;
typedef struct VNode{				//顶点结点
    VertexType data;
    ArcNode *firstedge;
}VNode;
typedef struct{						//邻接多重表
    VNode adjmulist[MaxVertexNum];
    int vexnum,arcnum;
}AMLGraph；

十字链表 VS 邻接多重表