【离散数学】关系

最新推荐文章于 2023-06-05 22:48:38 发布

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分类专栏：离散数学

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预备知识

序偶： 两个元素a、b有序地放在一起，称为一个有序对或序偶，记以(a,b)。
序偶的特点： 两个有序对(a,b)和(c,d)相等当且仅当a=c，b=d $a_1,a_2,⋯,a_n)$ :n元有序组

笛卡尔乘积

设A、B是两个集合，所有有序对(x,y)做成的集合(其中x $∈\in$ A,y $∈\in$ B)，称为A、B的笛卡儿积。
A $×\times$ B={(x,y)|x $∈\in$ A且y $∈\in$ B}
例： A={a,b,c}, B={1,2} $→\rightarrow$ A $×\times$ B=={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
性质
|A $×\times$ B|=|A| $×\times$ |B|；
笛卡儿积运算不满足交换律，即 A $×\times$ B $≠\not=$ B $×\times$ A；
对任意集合A，有A $×\times$ $∅\varnothing$ = $∅\varnothing$ ， $∅\varnothing$ $×\times$ A= $∅\varnothing$

关系基本概念

定义: 给定任意集合A和B，若R $⊆\subseteq$ A $×\times$ B，则称非空集合R为从A到B的二元关系。
关系是一个集合，是序偶的集合。
二元关系： A=B时，称R为A上的二元关系
表示：
- 若(a,b) $∈\in$ R，称a与b有关系R $⇒\Rightarrow$ aRb
- 若(a,b) $∉\notin$ R，称a与b没有关系R $⇒\Rightarrow$ aR’b
三个特殊关系：
- 若R= $∅\varnothing$ ，则称R为A到B上空关系
- 若R=A $×\times$ B，称R为A到B上全关系 $U_A$
- 称R={(x,x)|x $∈\in$ A}为A上的恒等关系 $I_A$
定义域： S中有序偶的第一元素组成的集合
值域： S中有序偶的第二元素组成的集合

关系的表示方法

集合法

列举法

例：“对号关系”
R={ (王一, 1), (李二, 2), (丁三, 3) }

描述法

例“对号关系” R的描述法表示：
A={ 王一,李二,丁三 }， B={ 1, 2, 3, 4 }
R={ (a, m) | a $∈\in$ A, m $∈\in$ B, m是a的学号 }

矩阵表示法

关系R可以用关系矩阵 $M_R=(r_{ij})_ {m*n}$ 表示:
$rij={1,aiRbj0,aiR′bjr_{ij}=\left\{\begin{array}{l}1, a_iRb_j\\0, a_iR'b_j\end{array}\right.$

图表示法

关系R的图表示：用小圆点表示集合A、B中的元素；若aRb，则画一条从a指向b的有向边(弧)

例题

设A={-2,-1,0,1},写出A上的<关系，≤关系，全关系和恒等关系的关系矩阵、关系图
<={(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,0),(-1,1),(0,1)}

$M<=[0111001100010000]M_<=\begin{bmatrix}0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

$M⩽=[1111011100110001]M_\leqslant=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

恒等关系： $MIA=[1000010000100000]M_{I_A}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

全关系： $U_A$ =A $×\times$ A $MUA=[1111111111111111]M_{U_A}=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}$

关系的运算

关系的并、交、差、补

关系是序偶(有序对)的集合，因此可以对关系进行运算。若R, S $⊆\subseteq$ A $×\times$ B，则
R∪S， R∩S，~R，R-S $⊆\subseteq$ A $×\times$ B

复合运算

设R是一个从X到Y的关系，S是一个从Y到Z的关系，则R和S的复合关系：
R $∘\circ$ S={(x,z)|x $∈\in$ X,z $∈\in$ Z,至少存在一个y $∈\in$ Y,有(x,y) $∈\in$ R且(y,z) $∈\in$ S}
运算方法

画图
矩阵法：将进行复合运算的两关系用矩阵表示并 $×\times$ 乘，所得矩阵即为复合运算结果
例3. A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={1,2,5} ，R={(1,2),(2,2),(3,4)}, S={(2,5),(3,1),(4,2)}，复合关系？

复合关系

定理2.1 设R、S、T分别表示从X到Y、Y到Z、Z到U的关系，则有
(R $∘\circ$ S) $∘\circ$ T=R $∘\circ$ (S $∘\circ$ T)
性质

$R^0=I_A$
$R^n+1=R^n$ $∘\circ$ $R$
$R^n$ $∘\circ$ $R^m=R^{n+m}$
${R^m})^n=R^{m*n}$

逆关系

关系R的逆关系记为
$R^{-1}$ ={(b,a)|(a,b) $∈\in$ R}
性质

$R^{-1})^{-1}=R$
$(R∘Q)−1=R−1∘Q−1(R\circ Q)^{-1}=R^{-1}\circ Q^{-1}$

关系的重要性质

自反与反自反

自反： 集合A的关系R，如对任意的x∈A，有(x,x)∈R，则称R是自反的。
$⇒\Rightarrow$ $I_A⊆R$ （不能有序偶中的某元素在整个关系的序偶中成单出现）
反自反： 反自反：在集合A的关系R，如对任意的
x∈A，有(𝑥,𝑥)∉𝑅，则称R是反自反的
$⇒\Rightarrow$ $R∩I_A=Φ$ (一个相同的序偶都不能有)

对称与反对称

对称： 在集合X上的关系R，如果有(x,y)∈R，必有(y,x)∈R $⇒\Rightarrow$ $R=R^{-1}$ （有(a,b)就得有(b,a)成对出现）
- 若关系是对称的,其关系图中弧是成对的
- 若关系是对称的，则关系矩阵是对称矩阵
反对称: 在集合X上的关系R，如果有(x,y)∈R且x≠y，必有(𝑦,𝑥)∉𝑅
$⇒\Rightarrow$ $R∩R^{−1}⊆I_X$ （存在(a,b)而找不到(b,a)）
- 若关系是反对称的，关系图中无成对的弧
- 若关系是反对称的，关于主对角线对称的元素不同为1

传递

在集合X上的关系R，如果有(x,y)∈R且(y,z)∈R，则必有(x,z)∈R
$⇒\Rightarrow$ $R^2⊆R$

实数集合上的不同关系的性质

实数集上的”=”关系:自反、对称、反对称、传递
实数集上的”≤”关系:自反，反对称，传递
实数集上的”<”关系：反自反，反对称，传递
空集：自反，反自反，对称，反对称，传递

关系上的闭包运算

关系的闭包；使得关系满足特定性质的序偶集合

自反闭包： $r(R)=R∪I_X$
对称闭包： $s(R)=R∪R^{−1}$
传递闭包： $t(R)=⋃_{i=1}^∞R^i$ $R∪R^2∪R^3∪⋯$

若关系R为有限集合: $t(R)=⋃_{i=1}^nR^i$

传递闭包运算方法：求得 $A$ ， $A^2,A^3$ …当没有新的序偶出现时取并集
- $A2=A×AA^2=A\times A$ , $A3=A2×AA^3=A^2\times A$
- 利用画图，求 $A^n$ 时，从某起点（作序偶第一个元素）出发经过可走路线n次到达的终点（作序偶的第二个元素）