(取模运算)-----模幂运算(避免数据溢出)----------------(ZZULIOJ 1090)

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#算法

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本文详细解析模运算的基本规则及其在复杂计算中的应用，包括加法、减法、乘法、幂运算的模运算规则，以及如何利用这些规则进行有效的大数计算，如求解大指数幂的模结果。

模运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p （6）
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配律：
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）
重要定理
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)；（13）

模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。
例如，我们想知道3333^{5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333}5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。
根据运算规则（4）a^b % p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。
根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^{5555（%10）=（3}(41388) * 3^{3）（%10）=（（3}(41388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（（3^(41388)（%10） 7）（%10）。
根据欧拉定理可以得到 3 ^ (4 * k) % 10 = 1, 所以（（3^(41388)（%10） 7）（%10）= (1 * 7) (% 10) = 7
计算完毕。
利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。
这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。
如果N是偶数，那么X^N =（XX）¹；
如果N是奇数，那么X^N = XX^(N-1) = X （XX）²；
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

题目:求A^B的最后三位数表示的整数（1<=A,B<=1000）

#include<stdio.h>
int p(int x,int y)
{
	int i,num=1;
	for(i=0;i<y;i++)
	{
		num*=x;
		num=num%1000;
	}
	return num;
}
int main()
{
	int x,y,n;
	int date;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		date=p(x,y);
		printf("%d\n",date);
	}
	return 0;
}