张量网络算法基础（五、TEBD算法和DMRG算法）

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一、TEBD算法

定义

给定一个张量网络，把所有的指标求和，得出求和的结果。例如一个由 W×H 个张量组成的张量网络，如下图。该张量网络由三种不等价张量构成，该三种不等价张量为：在四个角上的张量为二阶张量、在边上的张量为三阶张量、在内部的张量为四阶张量。把该张量所有的指标求和，得出的结果是一个标量。

TEBD（time-evolving block decimation）算法为一种基于矩阵乘积态的、近似收缩张量网络的数值算法。要是忘记了什么是矩阵乘积态，戳这里：矩阵乘及态。

TEBD算法是从处于边界的张量构成的MPS开始，一行一行或一列一列地收缩张量网络的算法。以下图的收缩为例，把张量网络沿水平方向从中间分成两部分，右图以下部分为例，下边界的张量也就是橙色的部分组成一个长度为W的MPS态，我们把它记为$|{\phi }^{D_0}⟩$，中间的每一层张量也就是蓝色的部分构成作用在$|{\phi }^{D_0}⟩$上的算符，记为$\hat{\rho }$。看到这再结合之前学过的多体算符作用到多体态上的内容，有没有思绪万千？我们继续往下看。

TEBD的做法就是把上面这一层一层的张量$\hat{\rho }$和MPS态$|{\phi }^{D_0}⟩$进行收缩，如下图所示。每收缩一层就会产生一个新的MPS态，整个下半部分收缩的结果为另一个MPS态，记为$|{\phi }^D⟩$，易得
$$|{\phi }^D⟩\text{=}{\hat{\rho }}^{\frac{H}{2}-1}|{\phi }^{D_0}⟩$$

下半层同理，类似地定义$|{\phi }^U⟩\text{=(}{\hat{\rho }}^T{)}^{\frac{H}{2}-1}|{\phi }^{U_0}⟩$,所以整个张量网络收缩的结果为
$$Z=⟨{\phi }^U|{\phi }^D⟩\text{=}⟨{\phi }^{U_0}|{\hat{\rho }}^{H-2}|{\phi }^{D_0}⟩$$

一切看起来都那么的简单，但是如果我们只进行收缩其它什么操作都没有，那么们我们就会遇见一个问题，每次收缩都会使MPS态的辅助指标扩大D倍（$\hat{\rho }$水平方向指标的维数），所以此时需要引入MPS的最优裁剪，设置截断维数$\chi$，如下图的操作。也就是在收缩的过程中，我们收缩一层，得到一个新的MPS态，通过中心正交形式计算MPS纠缠谱，将多于截断维数的奇异值和对应的奇异向量进行裁剪，最后将辅助指标的维数裁剪为 $\chi$

注意：这种收缩、裁剪的方式很重要，后面的学习还会涉及，理解还不够透彻可以再回顾下上篇博客有关MPS的内容TT分解和MPS态

TEBD算法计算一维格点模型基态

考虑N个自旋构成的一维海森堡模型：
H ^ = ∑ ⟨ i , j ⟩ H ^ i j , H ^ i j = ∑ α = x , y , z s ^ i α s ^ j α \widehat{H}=\sum_{\langle i, j\rangle} \widehat{H}_{i j}, \quad \widehat{H}_{i j}=\sum_{\alpha=x, y, z} \hat{s}_{i}^{\alpha} \hat{s}_{j}^{\alpha} H =⟨i,j⟩∑​H ij​,H ij​=