Falcon的博客

转自：https://kuangbin.github.io/2019/04/28/20190428/#more二维几何// `计算几何模板`const double eps = 1e-8;const double inf = 1e20;const double pi = acos(-1.0);const int maxp = 1010;//`Compares a double ...

题目链接：点击查看题目大意：二维平面给出 nnn 个矩形，现在要求找到一个点 (x+0.5,y+0.5)(x+0.5,y+0.5)(x+0.5,y+0.5)，满足对于任意的 (x+0.5+k1d,y+0.5+k2d)(x+0.5+k_1d,y+0.5+k_2d)(x+0.5+k1​d,y+0.5+k2​d) 都不会出现在任意一个矩形中题目分析：假设我们找到的目标点为 (x,y)(x,y)(x,y)，不难每次移动目标点，对于每个矩形来说，对 ddd 取模后的相对坐标都是不变的，所以我们不妨将每个矩形都对

题目链接：点击查看题目大意：给出二维平面上的 nnn 个点，任意选择出三个点可以构成一个三角形，现在问满足下面条件的三角形的个数：三角形面积为整数三角形包含的（不包括边界）整数点为奇数其中所有坐标点的 xxx 和 yyy 都是偶数题目分析：因为所有坐标点都是偶数，所以先猜一波任意三个点都是满足第一个条件的，也就是围成的三角形面积一定是偶数。所以现在问题就转换为了，如何求解满足第二个条件的三角形的个数。赛中经队友提醒，得知了“皮克定理”这一关键的结论，即 S=a+b2−1S=a+\frac{b

题目链接：点击查看题目大意：空间内有6个点，满足 ∣P1A∣≥k1∣P1B∣,∣P2C∣≥k2∣P2D∣|P_1A|\ge k_1|P_1B|,|P_2C|\ge k_2|P_2D|∣P1​A∣≥k1​∣P1​B∣,∣P2​C∣≥k2​∣P2​D∣，求 P1,P2P_1,P_2P1​,P2​ 各自轨迹围成的空间体的体积交题目分析：三维坐标系中两点之商为定值的话表示的是一个球壳，叫阿波罗尼斯球壳囤个板子，求两球体积交的代码：// Problem: Girlfriend// Contest: Now

题目链接：点击查看题目大意：在二维平面的第一象限中给出两条射线代表河流，再给出起点和终点，问从起点出发，至少经过两条河各一次后到达终点的最短路题目分析：如果只有一条河的话就是初中数学的经典问题了，现在加上了两条河无非就是多了分类讨论，但是分类讨论写的那份代码过了 96% 多，还是算了吧考虑三分套三分，当在某条河上确定了一个交点后，可以通过三分去寻找另一条河交点的最短路，所以是可行的需要注意的是，因为整个矩阵的大小最大是 100∗100100*100100∗100 的，在此之中河流的最大长度实际上是对

题目链接：点击查看题目大意：二维平面给出 nnn 个点，满足任意三个点不在一条直线上。需要选出一条经过某个点的有向直线，满足执行 “大风车” 后直线的角度反转到 180180180 度时，回到初始的起点“大风车” 指的是直线顺时针旋转，若碰到了某个点 ppp，则以点 ppp 为新的轴心继续旋转，持续这个过程题目分析：解析该模型的视频：https://www.bilibili.com/video/BV164411k7e3省流结论：找到一条经过某个点的直线，使得左右两侧的点个数相同代码：// Pro

题目链接：点击查看题目大意：给出四个点，问最少移动多少步，可以使得四个点围成的矩形是正方形（这里的正方形允许退化成点）题目分析：比赛时写了个三分，然鹅又双叒叕不知道哪里写崩了，还是太菜了呀首先对于四个点全排列，枚举每个点分别属于正方形的哪个位置，方便起见我设：p[ 0 ] 是左上角，p[ 1 ] 是右上角，p[ 2 ] 是左下角，p[ 3 ] 是右下角不难看出 x 坐标与 y 坐标是相互独立的，所以这里只讨论如何求解最优的 x，关于 y 的话类比过去就好了对于最终的正方形来说，p[ 0

题目链接：点击查看题目大意：在 x = -100 的直线上有 n 个敌方飞船，在 x = 100 的直线上有 m 个敌方飞船，现在在 x = 0 的直线上可以选择两个点作为诱饵，使得两侧的飞船瞄准射击，问如何才能击落尽量多的飞船题目分析：因为 n 和 m 只有 60，所以在 x == 0 时至多有 n * m 个交点，然后去 O( n^2 ) 去枚举交点暴力计算答案即可，对于每个交点来说，状压记录一下两侧可以击落的飞船，然后维护一下最大值就好了更简单的一个思路就是，因为两侧的飞船分别位于 x =

题目大意：在二维平面中给出 n 个点，再给出一个固定大小的圆，问如何放置这个圆可以使其覆盖最多的点题目分析：首先不难想到一种 n^3 的做法，就是两层循环去枚举两个点，因为两个不同的点就可以确定下来两个圆了（对称的），然后对于这 2 * n * n 个圆的每一个来说，再用一层循环去枚举 n 个点，计算一下有多少个点可以被覆盖到就可以了考虑优化，假如分别以点 i 和点 j 为圆心，以 r 为半径做出两个相交的圆，比较显然的是，如果在相交的阴影部分中任选一点作为圆心，同样以 r 作为半径做圆，那么点..

题目链接：点击查看题目大意：给出 n ( n <= 2000 ) 个点，求出所有不同的锐角三角形的面积题目分析：n^3 暴力枚举肯定是不可以的，和之前写过的一个题目思路很像：HDU-5784所以这个题目的思路就是，枚举所有的角，如果是锐角的话贡献为 1，如果是钝角或直角的话贡献为 -2，最后相加除以 3 即可，可行性的证明可以直接列举一下三种三角形的情况：锐角三角形：三个角都是锐角，计算出的贡献为 3 倍的面积 直角三角形：一个角为直角，其余两个角都为锐角，直角的提供-2 倍的贡献.

题目链接：点击查看题目大意：在笛卡尔坐标系上给出 n 个点，要求选出四个点，使得组成的四边形面积最大，求出这个最大的面积，注意此处组成的四边形不是严格意义上的四边形，只需要选四个点就行题目分析：首先猜也能猜出来四边形的四个点在凸包上肯定是最优的，所以我们可以 nlogn 求出凸包，不难想到的一个 n^3 的算法就是，n * n 去枚举对角线，这样就能将四边形划分为两个三角形，然后 O( n ) 去枚举三角形另一个的顶点，在对角线的两侧分别找到一个点使得这两个三角形的面积最大，维护一下这个面积的最大值

题目链接：点击查看题目大意：在一个二维平面上，给出一个实心圆柱体，再给出一个可以视为质点的小球，小球初始时位于点 A ，会给出一个速度向量 VA，当小球碰到圆柱体时，会因碰撞弹开，规定碰撞不会丢失动能，问在小球在运动的过程中能不能到达点 B题目分析：稍微画一下图：为了方便表示射线，我在无穷远处计算出了一个点 inf，这样射线 A就转换为了线段 ( A , inf )，同理图中的 l1 和 l3 都是以线段表示的射线，图中点 P 表示为圆心，G1 和 G2 表示 l1 与圆的两个交点，规定 .

题目链接：点击查看题目大意：给出一个等边三角形的区域，再给出初始时一个质点的位置 ( x , y) 和初始速度 ( vx , vy ) ，现在质点会不断运动，当碰到三角形的内壁时会根据角度反弹，问小球第 k 次碰到三角形的内壁的时间题目分析：k 非常大，肯定不能暴力去模拟每一次小球的运动，借用题解的一句话更好理解：灵感来自用激光笔往镜子中射入激光被多次反射。人眼从激光笔的视角来看，光束并没有被 “反射”，而是穿入了 “镜子中的世界”。将二维平面视为无穷大，大概就是这样互相拼接而成.

题目链接：点击查看题目大意：在平面直角坐标系中给出一只手的轮廓，需要判断是左手还是右手题目分析：因为这些点在给出时不能确定时顺时针还是逆时针给出，所以我们需要自己来判断，这里存一下给出三点判断顺时针还是逆时针的板子（其实就是个叉积计算三角形面积的应用），当判断出给出的图形是顺时针还是逆时针输入的时候，无非只有四种情况，分类讨论一下就好了，这里我选择的是最底下的长度为 9 的边和两侧长度分别为 6 和 8 的边讨论因为题目给出的数据误差较大，所以在比较大小的时候，要么eps设的大一点，或者可以

题目链接：点击查看题目大意：给出三个同心圆，从三个同心圆上分别选择三个顶点组成一个非退化的三角形，求三角形面积的期望题目分析：参考博客：http://www.koule2333.top:3000/s/HJn9liYyw借图：如图所示，在利用向量表示出三角形的面积后，会带有两个以角度为变量的参数，且积分时带有绝对值，因为题目对精度的要求不高，所以我们可以将角度做等分，因为时间给的充足，所以我做的是 500 等分另外向量叉积的运算公式如下：因为只是第三维都为零，所以答案就是了

题目链接：点击查看题目大意：给出 n 个点，需要我们选择一个经过原点的圆，使得这个圆经过尽可能多的点，输出最多可以经过多少个点题目分析：n 的大小是 2000 ，显然支持 n * n 最多再加一个 log 的写法，因为三个不共线的点确定一个圆，圆上的一个点（原点）已经确定了，所以我们可以 O( n ) 枚举一下另一个定点 P，此时大概是这个样子最后 O( n ) 枚举点 A 时，此时不共线的三点已经可以确定一个圆了，换句话说，三个点就可以确定下来圆心的位置了，当点 P 和点 O 都确定下来后

题目链接：点击查看题目大意：输入 A , O , B 三个点的坐标，输出 K1 , K2 , K3 分别为角 AOB 四等分线上的点题目分析：吐了吐了，这个题想到了一种解法，但是在实现的时候被高中的向量知识卡住了，要是这个题能过的话这次的红包应该能领不少呜呜呜说回题目，借题目的图一用：为了方便讲解，就将三条四等分线从左到右称为 XP , XC , XQ ，其中点 O 被我替换成...

题目链接：点击查看题目大意：给出一个凸多边形，将凸多边形通过平移，使平移后的凸多边形可以将原点包含在内(在边或点上也算)，所有满足条件的凸多边形所形成的新图形，一定是一个凸多边形，问新图形和原图形是否为相似图形题目分析：这个题光读题可能不太好读明白，但是看了样例给出的图示后大概就能明白题意了，其实题目做起来比较简单，将给出的样例在纸上稍微画画就可以大胆猜测了，满足相似的充分必要条件是点数为...

题目链接：点击查看题目大意：给出 n 个点，计算有多少个锐角三角形题目分析：直接枚举点计算的话不太好办，因为 n 给到了 2000 ，直接枚举的话复杂度到了 n^3 ，但正难则反，我们考虑一下锐角三角形是由三个锐角组成的，而钝角三角形和直角三角形是由两个锐角 + 一个非锐角组成的，所以我们可以先计算出所有锐角的个数 ans ，以及所有非锐角的个数 not_ans ，那么答案显然是 ( an...

题目链接：点击查看题目大意：在一个二维平面上，给出一个初始点 P ，接下来给出 n 个点当做靶子，现在初始节点会射击每个靶子，我们可以进行的操作是在 x 轴或 y 轴上建造一段连续长度的木板，使得初始点 P 无法射击到木板后方的靶子，规定木板只能在 x 轴或 y 轴上建造连续的一段，不许拐弯，问最短需要建造多长的木板，才能让点 P 最多只能射击到 k 个靶子，如果无解，输出 -1题目分析：...

题目链接：点击查看题目大意：给出三个顶点A，B，C组成三角形，如题目中的图片所示，规定D，E，F分别为三条边的三等分点，现在要求三角形RPQ的面积题目分析：利用向量先求出DEF三点，再利用线段相交求出RPQ三点，最后利用海伦公式直接求答案，还是考察了模板的配合代码：#include<iostream>#include<cstdio> #includ...

题目链接：点击查看题目大意：给出n个点，再给出m个询问，每次询问给出一个点 x，我们需要回答包括点 x 的直角三角形有多少个题目分析：题目比较直接，数据也比较小，支持n*n的算法处理，首先我们必须知道，如果要包括点 x 所组成三角形，那么点 x 可以在直角点上，也可以在非直角点上，比较容易想到的方法是离线处理，我们需要分类讨论，也就是上述两个情况，对于每个询问而言，以点 x 为相对原点，对...

题目链接：点击查看题目大意：给出n个点，计算能组成的凸四边形个数题目分析：朴素方法是枚举四个点，n^4的复杂度，而这个题目的n给到了700，显然是不行的，既然点的个数比较大，正难则反，我们考虑组合数学，首先n个点能组成C(n,4)个四边形，我们只要减去凹四边形的个数就是答案了，我们记凹四边形的个数为ans，凹四边形，换一种说法，就是取三个点组成的三角形，问有多少个点落在三角形内，那么三角形...

题目链接：点击查看题目大意：给出n个点，以及一个圆心和半径，首先判断这n个点能否构成凸包，若能，继续判断圆是否在凸包内题目分析：这个题目确实非常综合，考察了判断凸包问题，判断圆是否在凸包内，只要保证圆心在凸包内，以及圆心到每条边的距离小于等于半径即可，说到底还是考察了模板是否靠谱，不得不佩服kuangbin大神的模板真的牛，一套用下来没有一点bug，直接贴代码吧，全是模板，懒得删减，所以有...

题目链接：点击查看题目大意：给出两条线段，问组成的容器最多能接多少雨水题目分析：既然是接雨水，那么肯定只能是漏斗状，很容易排除掉两种情况：其中有一条线段平行于x轴 两条线段不相交还有一种比较难想的情况kuangbin大神提到了，那就是封口的情况，对应就是以下三种情况：单独讨论之后，剩下的情况就一定有解了，直接按照三角形的面积计算就是答案了注意结果需要加上一个eps防止出...

题目链接：点击查看题目大意：给出n个正方形的边长，每个正方形必须与x轴有交点，且交点必须小，还需要满足每个正方形与x的交点依次递增，在满足以上条件的前提下，将所有的正方形防止在二维平面上，现在问从x轴上方向下俯视，能直接看到哪些正方形题目分析：伪装成几何题目的思维题，用到的几何知识无非是坐标转换，更多的是思维，因为题目的要求限制了正方形摆放的方式唯一，我们可以将每个正方形抽象成一个线段，计...

题目链接：点击查看题目大意：现在有一只特殊的蚂蚁，它会按照以下规则尽可能长的寻找路径：不能回头 不能右转 只能逆时针行走现在给出n个点，输出最长的路径题目分析：既然是逆时针旋转，那么每次只能走极角最小的一个，每次都排序找就可以了，时间复杂度是n*n*logn，极角排序的cmp函数还是用这张图代码：#include<iostream>#include&l...

题目链接：点击查看题目大意：给出n条线段，现在问是否存在一条直线，使得所有线段向这条直线的投影存在一个共同的交点题目分析：题意有点抽象，需要转换一下，因为所有的线段向某一条直线的投影存在一个交点，那么在那条直线上，从交点位置开始，沿着垂直于直线的方向做另一条直线，会发现这条直线与n条线段都存在一个交点，也就是都相交，这样题目就转换为了是否存在一条直线，使得与n条线段都有交点因为直线也是...

题目链接：点击查看题目大意：给出一个房间，房间内有许多墙壁(最多18堵墙)，现在要从(0,5)点到(10,5)点，问最短路程是多少题目分析：若要使路程最短，肯定要在两点之间前进，这样我们可以在建好墙后，根据线段相交问题渐变，判断两个点之间是否有线段挡着，如果没有挡着，直接建边，边权为两点的直线距离，如果被挡着了，也就是存在一条线段和当前线段规范相交，则说明两点无法直接到达，则边权置为无穷大...

题目链接：点击查看题目大意：给出一个盒子，由n条互不相交的线段分割为n+1个空格，现在有m个玩具的坐标，现在问每个空格内有多少个玩具题目分析：利用叉积的性质判断点在直线的哪一侧：以点在直线左侧为例，对于一个点来说，n条线段就具有了单调性，以此二分找到该点右边的直线，则就确定了当前点所在的空格了代码：#include<iostream>#include&lt...

题目链接：点击查看题目大意：给出一个无限大的二维坐标平面，现在有一些坏点，规定： 满足以上两条件之一的点即为坏点，现在问最少经过多少个坏点的情况下，可以从起点到达终点题目分析：一开始没想到坏点是如何分布的，看了网上题解的画图后恍然大悟了，这里借用一下图片：来自：https://blog.youkuaiyun.com/nyist_zxp/article/details/39927781...

题目链接：点击查看题目大意：给出一个二维平面坐标系，其中有n个巫师，m个敌人，以及k棵树，规定每个巫师都有一个攻击范围，可以攻击以巫师为圆心，以攻击范围为半径，形成的圆内的所有敌人，对于每棵树都有一个半径，规定以每棵树为圆心，以半径形成的圆都是障碍物，若巫师和敌人之间被至少一棵树遮挡（直线），则巫师无法攻击敌人，每个巫师的攻击都有冷却时间，现在问至少需要多长时间才能消灭所有敌人，若无法消灭所有...

题目链接：点击查看题目大意：给出两个含有n个点的集合，在两个集合中分别任选一点，使得这两个点之间的距离最小题目分析：因为n给到了1e5，所以n*n的暴力肯定是不行了，直接从网上copy了个分治优化的模板，时间复杂度为nlogn，可以求出n个点中相距最近的两个点的距离，对于这个题目而言，我们将两个集合中的点分个类，在求距离的时候，若是同类的点，直接返回无穷大即可，这样同类的点肯定不可能是答案...

插眼大佬博客：https://www.cnblogs.com/wt20/p/5803349.html用法：将N个点读入后用cmpx函数排序，然后直接调用findMin函数即可，参数为(0,n-1)，时间复杂度为nlogn代码：const int N=1e5+100;//点的数量struct Point{ double x,y;}point[N];int y_sor...

题目链接：点击查看题目大意：给出四个点，求出该四边形的费马点，费马点是求得一个点，到这四个点的距离最小，最后输出距离，题目分析：三分套三分，外层三分x，内层三分y即可，不过就是目前来说遇到的所有三分问题都过于玄学，有时候样例过不了却A了，有时候自认为没问题却WA了数十发，这里要改一下以前的书写习惯，以前总喜欢这样写：double mid=(l+r)/2;double mmid=(...

因为某些原因被迫学习几何知识。。先从网上拿个模板来用用用处：可以按照极角排序，依次找出凸包边界的点const int N=10;int n=4,tot;struct node{ double x,y;}a[N],p[N]; double dis(node A,node B) //距离{ return sqrt((B.x-A....