背包问题经典例题杭电2546

Problem Description
电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

Input
多组数据。对于每组数据：
第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。
第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。
第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。

n=0表示数据结束。

Output
对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

Sample Input
1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0

Sample Output
-45
32

问题抽象：输入money，输入一系列数，money大于等于5时可以减去任意一系列数里面的一个（一个数只能减一次），小于5时停止，如何使卡内余额最少，输出最小的余额

问题思路：当给的money小于5时，直接输出，大于5时，排序求出最大值，再通过动态规划减出最接近于5的数（如果减了小于5，就不减），再减去最大值，其中，减去的先不用减去最大值（原因：如果减去最大值后比减去第二大值更接近5，那么再减去第二大值之后，和我们的思路是一样的）。数据较小，不用考虑复杂度

与背包问题相关：相当于重量与价值相等的背包问题，将背包容量V视为money-5，N件物品视为N个数，每个数c[i]代表着物品的重量和价格。于是，用子问题定义状态，用f[i][v]表示前i件物品放入容量为money-5的背包获得的重量，则其状态转移方程为f[i][v]=max{f[i-1][v]，f[i-1][v-c[i]]+c[i]}

c++代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include
using namespace std;

const int maxn=1010;
int val[maxn];
int dp[maxn];

int main(){
int n,i,j,money;
while(~scanf("%d",&n)&&n){
memset(val,0,sizeof(val));
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<n;++i
scanf("%d",val+i);
scanf("%d",&money);

    if(money<5){//低于5元直接输出 
        printf("%d\n",money);
        continue;
    }
    
    sort(val,val+n);
    int Max=val[n-1];
    money-=5;//背包容量为money-5
    
    if(money>=val[0]){//如果剩下的钱 连最便宜的物品都买不起，那就不进行操作 
        for(i=0;i<n-1;++i){//i<n-1 因为最贵的东西 已经买走 
            for(j=money;j>=val[i];--j){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]);//状态转移方程 
            } 
        } 
    }
    printf("%d\n",money+5-dp[money]-Max);
}
return 0;

}