素数的判断

素数的定义

素数也常常称为质数，与合数的概念是相对的。
其准确定义是指在大于1的自然数中，除了1和他本身以外，不再有其他因数的自然数。否则就是合数，规定1既不是质数也不是合数。

素数的判定方法

既然已经知道了什么是素数，那么根据他的性质就很好的判断一个数是否是素数了

试除法

也就是遍历除1和该数本身所有数，如果存在一个整数，可以被该数所整除，那么证明存在一个除1和本身外的因数，那么他自然不是素数。

//若整数p是素数，那么返回1,否则返回0.
int fn(int p)
{
	if(p<=1)  //小于1，不是素数
		return 0;
	else
	{
		int i;
		for(i=2;i*i<=p;i++)
		{
			if(p%i==0)  //可以整除
				return 0;
			}
		}
		return 1; //无法整除，不是素数
}

埃拉托斯特尼筛法

通过逐步排除倍数来找到素数，这种算法适合于寻找一定范围内的素数以及求一定范围内素数的和等相关题目。

//该函数处理后的数组中为1的均为素数，为0的不是素数
void fn(int p)
{
	int prim[p+1];
	int i,j,k;
	for(i=2;i<=p;i++)
		prim[i]=1;
	for(i=2;i*i<=p;i++)
	{
		if(prim[i]==1)
		{
			for(j=i*i;j<=p;j+=i)
			{
				prim[j]=0;//认为整数i是素数，那么i的倍数自然不是素数
			}
		}
	}
	//依次打印小于等于p、大于1的所有素数
	for(k=2;k<=p;k++)
	{
		if(prim[k]==1)
			printf("%d ",k);
	}
}

在理论上，埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度比简单遍历法（试除法）要低。埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度是 O(n log log n)，而简单遍历法的时间复杂度是 O(n√n)。具体来说，埃拉托斯特尼筛法的关键优势在于通过跳过某些合数的筛选，避免了对所有可能的因子进行逐一测试，从而减少了计算的数量。它的主要思想是通过从小到大遍历每个数，将其所有的倍数标记为合数。由于每个合数只会被标记一次，所以总体计算量较小。而简单遍历法（试除法）则需要对每个数进行逐一测试，检查是否有小于它的素数因子。这会导致更多的计算，尤其是在对大数进行测试时，计算量相对较大。总体而言，在找出一定范围内的所有素数时，埃拉托斯特尼筛法的性能更好。然而，对于特定的问题和输入规模，具体的性能差异可能会有所不同。