对角矩阵

原创

于 2019-05-15 22:53:27 发布 · 1.5w 阅读

·

4

·

CC 4.0 BY-SA版权

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文探讨了线性变换在特定基下矩阵为对角矩阵的条件，涉及特征值、特征向量和特征多项式的关系。定理表明，线性变换在n维空间有n个不同特征值时，其矩阵可以对角化；而在复数域上，无重根的特征多项式保证矩阵对角化。同时，线性无关的特征向量组的线性无关性对矩阵对角化至关重要。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定理1

设 $\mathfrak{A}$ 是n维线性空间V的一个线性变换， $\mathfrak{A}$ 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是， $\mathfrak{A}$ 有n个线性无关的特征向量。

定理2

属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

推论1

如果在n维线性空间V中，线性变换 $\mathfrak{A}$ 的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即 $\mathfrak{A}$ 有n个不同的特征值，那么 $\mathfrak{A}$ 在某组基下的矩阵是对角形的。

推论2

在复数域上的线性空间中，如果线性变换 $\mathfrak{A}$ 的特征多项式没有重根，那么 $\mathfrak{A}$ 在某组基下的矩阵是对角形的。

定理3

如果

最低0.47元/天解锁文章

200万优质内容无限畅学

评论 1

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。