【KMP算法】——字符串匹配

KMP是什么

由这三位学者Knuth，Morris和Pratt发明了一个字符串匹配算法，所以取了三位学者名字的首字母，所以叫做KMP。KMP算法的主要作用是用作在一个已知的字符串去查找子串的位置，它不同与暴力查找，其经典思想就是：

当出现字符串不匹配时，可以知道一部分之前已经匹配的文本内容，可以利用这些信息避免从头再去做匹配了。

所以如何记录已经匹配的文本内容，是KMP的重点，也是next数组肩负的重任。

前缀表（next数组）

写过KMP的同学，一定都写过next数组，那么这个next数组究竟是个啥呢？
next数组就是一个前缀表（prefix table）。

前缀表是用来回退的，它记录了模式串与主串(文本串)不匹配的时候，模式串应该从哪里开始重新匹配。

避免从头开始匹配，大大减少了工作量。而计算前缀表也是KMP算法中非常重要的一步，这用到了最长公共前后缀。

前缀是指不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串。
后缀是指不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串。

• 下面给出一个给数组求其前缀表
  
  长度为前1个字符的子串a，最长相同前后缀的长度为0。
  长度为前2个字符的子串aa，最长相同前后缀的长度为1。
  长度为前3个字符的子串aab，最长相同前后缀的长度为0。
  以此类推： 长度为前4个字符的子串aaba，最长相同前后缀的长度为1。
  长度为前5个字符的子串aabaa，最长相同前后缀的长度为2。
  长度为前6个字符的子串aabaaf，最长相同前后缀的长度为0。

那么把求得的最长相同前后缀的长度就是对应前缀表的元素，如图：

可以看出，模式串与前缀表对应位置的数字表示的就是：下标i之前（包括i）的字符串中，有多大长度的相同前缀后缀。

字符串匹配

那么如何利用前缀表找到当字符不匹配的时候应该指针应该移动的位置。如下所示：

当文本串遍历到b，模式串遍历到f时，两字符出现不匹配现象，这时候需要进行回退操作。首先查看前一个字符前缀表的数值是多少，f前面a的前缀表数值为2，这时候就可以从下标为2的字符开始重新遍历。

继续遍历下去，之后的每个字符都可以匹配，查找成功！

需要注意一下，我们平时使用kmp算法计算的next数组是新前缀表，用就前缀表的数值统一减1，查找过程不变。

void getNext(int* next, const string& s){
    int j = -1;
    next[0] = j;
    for(int i = 1; i < s.size(); i++) { // 注意i从1开始
        while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) { // 前后缀不相同了
            j = next[j]; // 向前回退
        }
        if (s[i] == s[j + 1]) { // 找到相同的前后缀
            j++;
        }
        next[i] = j; // 将j（前缀的长度）赋给next[i]
    }
}

那么使用next数组，用模式串匹配文本串的整体代码如下：

int j = -1; // 因为next数组里记录的起始位置为-1
for (int i = 0; i < s.size(); i++) { // 注意i就从0开始
    while(j >= 0 && s[i] != t[j + 1]) { // 不匹配
        j = next[j]; // j 寻找之前匹配的位置
    }
    if (s[i] == t[j + 1]) { // 匹配，j和i同时向后移动
        j++; // i的增加在for循环里
    }
    if (j == (t.size() - 1) ) { // 文本串s里出现了模式串t
        return (i - t.size() + 1);
    }
}