最短路径之SPFA算法（邻接矩阵+邻接表）

最新推荐文章于 2023-12-01 11:36:37 发布

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- （一）SPFA算法

（一）SPFA算法

【前言】：上一篇的Bellman_ford算法就可以解决求图中含有负权边时的最短路径，但我们可以看到Bellman_ford算法是一个三重循环，如果数据量大的话，它的效率非常低（当然，本来效率就低）。而SPFA算法就是对Bellman_ford算法的一个优化。SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。

【算法思想】：动态逼近法，用一个先进先出的队列来存各结点，每次取队首元素作为一个中转站，如果一个结点i直接到源点的距离大于i结点经过这个中转站再到源点的距离，就进行松弛操作，即：将dis[i]减小到dis[x]+mp[x][i]。SPFA算法也可以用来判断是否含有负权回路，如果一个结点入队次数大于节点总和数，就说明有负权回路。

1.1 邻接矩阵存图

用邻接矩阵存图唯一的好处就是简单好理解，但它太浪费空间，而且容易使算法超时；

1.1.1 核心算法

用队列来存各结点，每次取出队首元作中转站，判断这个中转站是否会缩小结点i到源点的距离,如果会，就进行松弛操作，将dis[i]减小到dis[x]+mp[x][i]，然后把没有入队元素入队，并记录它入队次数，如果一个结点的入队次数大于n次，就说明有负权回路，不能求最短路径;重复操作，直到队列为空；

queue<int> q;
	q.push(1);
	dis[1] = 0;
	vis[1] = true;
	sum[1] = 1;
	while (!q.empty())
	{
   
   
		int a = q.front();//取队列首元作中转站；
		q.pop();
		vis[a] = false;//删除标记
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
   
   
			if (mp[a][i] != INF)//如果这个中转站和i结点直接相连，就执行以下操作；
			{
   
   
				if (dis[i] > dis[a] + mp[a][i])//中转站会缩短i到源点的距离，dis数组就进行更新
				{
   
   
					dis[i] = dis[a] + mp[a][i];
					if (vis[i] != true)//把没有入队列的元素入队列;
					{
   
   
						q.push(i);
						vis[i] = true;
						sum[i]++;
						if (sum[i] >= n)//有负权回路；
							return true;
					}
				}
			}
	}

完整代码实现：

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
int mp[N][N];//用邻接矩阵存图；
int dis[N];//记录各点到源点的距离；
bool vis[N];//标记各点是否放入队列；
int sum[N