斐波那契数列_3种解法

题目描述：

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

难度简单282

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

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3种解法：

一，动态规划解法：

/**
* 斐波那契数列——动态规划解法：
* 时间复杂度为O(n)
* @param n
* @return
*/
public static int fib(int n) {
	//1，特殊情况处理：
	if (n == 0) {
		  return 0;
	} else if (n == 1) {
		  return 1;
	}
	//2，正常情况：
	else {
		  //新建一个数组，用于存放之前的子结果：
		  int[] array = new int[n + 1];
		  array[0] = 0;
		  array[1] = 1;
		  for (int i = 2; i <= n; i++) {
				array[i] = (array[i - 1] + array[i - 2]) % 1000000007;
		  }
		  return array[n];
	}
}

 

二，递归解法：

/**
* 斐波那契数列——递归解法：
* @param n
* @return
*/
public static int fib(int n) {
	if (n == 0) {
		  return 0;
	} else if (n == 1) {
		  return 1;
	} else {
		  n = (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;
		  return n;
	}
}

耗时太长。时间复杂度为O(2^n)。

三，带备忘录的递归：

private List<Integer> list = new ArrayList<>();
/**
* 斐波那契数列——带备忘录的递归解法：
* 单单使用暴力的递归解法太费时费劲了，时间复杂度为O(2^n)
* @param n
* @return
*/
public static int fib3(int n) {
	if (!list.contains(0)) {
		  list.add(0);
	}
	if (!list.contains(1)) {
		  list.add(1);
	}
	if (list.size() > n) {
		  return list.get(n);
	} else {
		  n = (fib3(n - 1) + fib3(n - 2)) % 1000000007;
		  list.add(n);
		  return n;
	}
}

直接递归会重复计算，例如fib(4) = fib(3) + fib(2)和fib(3) = fib(2) + fib(1) fib(2)被重复计算。

单单是递归，耗时非常长，时间复杂度为O(2^n)，

改造一下，为带备忘录的递归，存储递归过程中的值，去除重复计算，可以大大减少时间复杂度，优化之后，时间复杂度为O(n)。