【Matlab】 遗传算法求解TSP问题

【Matlab】 遗传算法求解TSP问题

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前言

个人实验的一次记录，如有不当欢迎批评指正

TSP(traveling salesman problem,旅行商问题)是典型的NP完全问题，即其最坏情况下的时间复杂度随着问题规模的增大按指数方式增长，到目前为止还未找到一个多项式时间的有效算法。在现实生活中，TSP问题广泛应用于货物零件加工顺序、汽配件喷涂顺序、仓储系统拣货路径规划、光伏板清洁等领域。
自20世纪80年代以来，基于启发式规则的智能优化算法兴起并被快速应用于求解TSP问题，如遗传算法、模拟退火算法、蜂群算法、蚁群算法、萤火虫算法、粒子群算法等，它们普遍具有快速搜索和求解能力，对规模更大的TSP问题也有明显效果。其中，以达尔文进化论、孟德尔遗传变异理论、模式理论为基础的遗传算法逐渐受到重视，它是一种自适应全局优化的概率搜索算法，具有较强的鲁棒性、并行性，容易与其他算法结合等优点，但也存在交叉算子不易操作、容易过早收敛而陷入局部最优、收敛速度慢等缺点

一、问题描述

TSP问题可描述为：已知$m$个城市相互之间的距离，某一旅行商从某个城市出发访问每个城市有且仅有一次，最后回到出发城市，如何安排才使其所走路线距离最短。也就是寻找一条最短的遍历$n$个城市的路径，或者说搜索自然子集 X = { 1 , 2 , ⋯   , n } ( X 的元素表示对 n 个城市的编号 ) 的一个排列 X=\left\{ 1,2,\cdots ,n \right\} \left( X\text{的元素表示对}n\text{个城市的编号} \right) \text{的一个排列} X={1,2,⋯,n}(X的元素表示对n个城市的编号)的一个排列
π ( X ) = { V 1 , V 2 , ⋯   , V n } 使得 \pi \left( X \right) =\left\{ V_1,V_2,\cdots ,V_{\mathrm{n}} \right\} \text{使得} π(X)={V1​,V2​,⋯,Vn​}使得 $T_{\mathrm{d}}={\sum }_{i=1}^{n+1}d\left(V_{\mathrm{i}},V_{\mathrm{i}+1}\right)+d\left(V_{\mathrm{n}},V_1\right)$取得最小值，其中$d\left(V_{\mathrm{i}},V_{\mathrm{i}+1}\right)$表示城市$V_{\mathrm{i}}$到城市$V_{\mathrm{i}+1}$的距离。

二、实验设计

1.问题案例

本案例以14个城市为例，假定14个城市的位置坐标如表1所列。寻找出一条最短的遍历14个城市的路径。具体如下：

编号	X坐标	Y坐标	编号	X坐标	Y坐标
1	16.47	96.10	8	17.20	96.29
2	16.47	94.44	9	16.30	97.38
3	20.09	92.54	10	14.05	98.12
4	22.39	93.37	11	16.53	97.38
5	25.23	97.24	12	21.52	95.59
6	22.00	96.05	13	19.41	97.13
7	20.47	97.02	14	20.09	94.55

2.读入数据

代码如下（示例）：

function [popinit,distmat,Villes] = file_init(nbrpop)
%读取包含城市坐标的文件
[FileName,~] = uigetfile('*.txt','选择文本文件');

  fid = fopen(FileName,'r');
  Villes = dlmread(FileName,'%d%10.4f%10.4f'); %将文件中的值存储在Cities数组中
  [nbrville,~] = size(Villes);
  fclose(fid);
 
distmat = zeros(nbrville,nbrville); %距离矩阵
popinit = zeros(nbrpop,nbrville);   %初始种群矩阵

%创建初始种群（随机）
for i=1:nbrpop
    popinit(i,:) = randperm(nbrville);
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
                          % 欧式距离 %
%填充距离矩阵
for i=1:nbrville
    for j=1:nbrville
        distmat(i,j) = sqrt( (Villes(i,2)-Villes(j,2))^2 + (Villes(i,3)-Villes(j,3))^2 );
    end
end

end

将表格内数据保存为文本格式 中间以空格形式隔开，即可通过该函数读入相关信息。

3.适应度计算

% vectfit：向量包含每次行程的总距离（成本）
% best：向量包含迭代中得到的最佳路径当前的
% minVal：本次行程对应的最佳值（最佳）

function [vectfit,best,minVal,indxBest]=calcFitness (nbrpop ,nbrville, distmat ,popinit)

vectfit = zeros(1,nbrpop);

%计算的适应度向量
 for i=1:nbrpop
    tmp = popinit(i,:);
    for j=1:nbrville
        if j==length(tmp)
            vectfit(i) = vectfit(i) + distmat(tmp(j),tmp(1));
            break;
        end
          vectfit(i) = vectfit(i) + distmat(tmp(j),tmp(j+1));
    end
 end
 
[minVal,indxBest]=min(vectfit) ; %min() 给了我们两个值：最小值和这个值的索引
best=popinit(indxBest , : ) ;

end

我们通过欧氏距离矩阵直接获取各个点之间的距离关系，通过距离换算出其适应度，用于后续的计算。

4. 选择子代

% matelec：包含选择进行繁殖的个体的矩阵

function matselec = rouletteSelect(vectfit,popinit)

 Ps = 0.5;
 [nbrpop,nbrville] = size(popinit);
 nbrpopS = floor(nbrpop*Ps);           % 我们选择 Ps*100% 的个人
 matselec = zeros(nbrpopS,nbrville);
cumProb = zeros(1,length(vectfit));     % 包含累积适应度的向量
 s = 0;
         
 
 % 累积概率计算
 for j=1:length(vectfit)
     cumProb(j) = s + vectfit(j);
     s = cumProb(j);
 end
  
 % 填充选择矩阵进行育种
 for i=1:nbrpopS
 r = (max(cumProb)-min(cumProb))*rand() + min(cumProb); % min(cumProb) <= r <= max(cumProb)
 
 for j=1:length(cumProb)
    if r <= cumProb(j)
        matselec(i,:) = popinit(j,:);
        break;
    end
    
 end
 
 end
 
 end

采取精英策略选择相关的适应度较高的个体用于后续的迭代，通过这种方法，不断的迭代直到满足迭代次数或者达到相关精度。

5. 结果输出

对应轨迹图

其迭代过程如上
实验源码点击此处

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总结

对于实际问题，我们需要采取不同的策略与手段，根据实际问题的需求，设计合理的求解方法，不断地深入的分析问题的本质，才有助于我们解决这些问题。