求解最小公倍数方法（附加更易懂的欧几里得算法（辗转相除法）及其定理证明）1818 最大公约数和1984 最大公约数 2135 最小公倍数 问题 A: Least Common Multiple

每日刷题（八十四）

1818 最大公约数题目描述

输入两个正整数，求其最大公约数。

详细C++代码1

#include<cstdio>

int gcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	else 
		return gcd(b, a % b);
} 

int main()
{
	int m, n;
	while(scanf("%d%d", &m, &n) != EOF)
		printf("%d\n", gcd(m, n));
	return 0;
}

运行结果如下：
按Ctrl + Z然后回车可以跳出EOF循环

C++代码2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	else
		return gcd(b, a % b);
}

int main()
{
	int m, n;
	while(cin >> m >> n)
	cout << gcd(m, n) << endl;
	return 0;
}

C++代码3

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
	int m, n;
	while(cin >> m >> n)
	{
		cout << gcd(m, n) << endl;
	}
	return 0;
}

欧几里得算法基于下面定理：

Attention！！！
0和任意一个整数a的最大公约数都是a

因此我们可以得到
1、递归式：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
2、递归边界：gcd(a, 0) = a

可以写成

int gcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	else
		return gcd(b, a % b);
}

更简洁的写法为

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

1984 最大公约数题目描述

读入n个正整数，求出这n个数的最小值、最大值以及它们两的最大公约数，并输出。输入中第一行为n，接下来为n个大于零的整数。

详细C++代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
	int n;
	while(cin >> n)
	{
		int a[n];
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			cin >> a[i]; 
		} 
		sort(a, a + n);
		int MAX = a[n - 1];
		int MIN = a[0];
		cout << MIN << " " << MAX << " " << gcd(MAX, MIN) << endl;
	}
	
	return 0;
} 

运行结果如下：

2135: 最小公倍数题目描述

给定两个正整数，计算这两个数的最小公倍数。

详细C++代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int lcm(int a, int b)
{
	return a / gcd(a, b) * b;
}

int main()
{
	int m, n;
	while(cin >> m >> n)
	{
		cout << lcm(m, n) << endl;
	}
	return 0;
}

运行结果如下：

问题 A: Least Common Multiple题目描述

The least common multiple (LCM) of a set of positive integers is the smallest positive integer which is divisible by all the numbers in the set. For example, the LCM of 5, 7 and 15 is 105.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int lcm(int a, int b)
{
	int d = gcd(a, b);
	return a / d * b;
}

int main()
{
	int n;			//数集行数 
	while(cin >> n)
	{
		vector<int> b;
		vector< vector<int> > a(n, vector<int>(9));
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			int m;
			cin >> m;
			 
			int tmp = 0;
			for(int j = 0; j < m; j++)
			{
				cin >> a[i][j];
				if(j == 0)
				{
					tmp = a[i][0];
				}
				if(j >= 1)
				{
					tmp = lcm(tmp, a[i][j]);
				}
			}
//			a[i][m] = tmp;
			b.push_back(tmp);
		}
		for(int i = 0; i < n; i++)
			cout << b[i] << endl;
	}
	return 0;
}

样例运行结果如下：

最小公倍数相关知识要素

最小公倍数求解是建立在最大公约数d基础上，a和b的最小公倍数 = a * b / d

最小公倍数就是上图的并集

由于a * b可能溢出，所以更恰当的写法是 a / d * b

对于三个数求最小公倍数可以运用我们小学学到的知识

求多个最小公倍数方法

可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。

之后我会持续更新，如果喜欢我的文章，请记得一键三连哦，点赞关注收藏，你的每一个赞每一份关注每一次收藏都将是我前进路上的无限动力 ！！！↖(▔▽▔)↗感谢支持！