第四章——字符串和多维数组

字符串和多维数组

字符串

（1）串的逻辑结构
串：零个或多个字符组成的有限序列。
串长度：串中所包含的字符个数。
空串：长度为0的串，记为：" “。
非空串通常记为：
S=” s1 s2 …… sn "
其中：S是串名，双引号是定界符，双引号引起来的部分是串值 ，si（1≤i≤n）是一个任意字符。
子串：串中任意个连续的字符组成的子序列。
主串：包含子串的串。
子串的位置：子串的第一个字符在主串中的序号。
S1="ab12cd "
S2=“ab12”
S3=“ab13”
（2）串的存储结构
顺序串：用数组来存储串中的字符序列。
串的长度的表示：
1，用一个变量来表示串的实际长度。
2，在串尾存储一个不会在串中出现的特殊字符作为串的终结符，表示串的结尾。
3，用数组的0号单元存放串的长度，从1号单元开始存放串值。
链接串：用链接存储结构来存储串。
改造链表实现串的链接存储：
1，非压缩形式
2，压缩形式

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模式匹配
模式匹配：给定主串S="s1s2…sn"和模式T=“t1t2…tm”，在S中寻找T 的过程称为模式匹配。如果匹配成功，返回T 在S中的位置，如果匹配失败，返回-1。
应用包括：生物信息学(基因表达分析，基因配对)、信息检索、拼写检查、语言翻译、数据压缩、网络入侵检测。

BF算法
基本思想：
从主串S的第0个字符开始和模式T 的第0个字符进行比较，
若相等，则继续比较两者的后续字符；
否则，从主串S的第1个字符开始和模式T 的第0个字符进行比较，
重复上述过程，直到T 中的字符全部比较完毕，则说明本趟匹配成功；或S中字符全部比较完，则说明匹配失败。
说明：模式匹配过程要进行多趟的匹配，每趟匹配要进行若干次的比较

1.在串S和串T中设比较的起始下标i和j；
2. 循环直到S或T的所有字符均比较完；
2.1 如果S[i]==T[j]，继续比较S和T的下一个字符；
2.2 否则，将i和j回溯(i=i-j+1,j=0)，准备下一趟比较；
3. 如果T中所有字符均比较完，则匹配成功，返回匹配的起始比较下标(i-j)；否则，匹配失败，返回-1；

int BF(char S[ ], char T[ ])
{
     i=0; j=0;   
    while (i<S.Length（）&&j<T.length())
    {
         if (S[i]==T[j]) {
             i++;   j++;
         }  
         else {
             i=i-j+1;    j=0;
         }   
     }
     if (j>=T.length())  return (i-j);   
     else return -1;
}

设串S长度为n，串T长度为m，在匹配成功的情况下，考虑两种极端情况：
⑴ 最好：不成功的匹配都发生在串T的第一个字符。
例如：S=“aaaaaaaaaabcdccccc”
T="bcd "
1，设匹配成功发生在si-1处，在这次匹配成功的过程中，总共进行了多少次比较？（包括之前失败的比较次数）
在i-1趟不成功的匹配中共比较了i-1次，
第i趟成功的匹配共比较了m次，
所以总共比较了i-1+m次.
S=“aaaaaaaaaabcdccccc”
T="bcd "
2，所有匹配成功的可能情况共有n-m+1种
3，匹配成功时平均的比较次数：

最坏情况：不成功的匹配都发生在串T的最后一个字符。
1，设匹配成功发生在si处，则在这次成功的比较过程中共进行了多少次比较？（包括之前失败的比较）
在i-1趟不成功的匹配中比较了(i-1)×m次，
第i趟成功的匹配共比较了m次，
所以总共比较了i×m次。
例如：S=“aaaaaaaaaaabccccc”
T=“aaab”
2，所有匹配成功的可能情况共有n-m+1种
3，匹配成功时平均的比较次数：
Pi 表示在第i个位置上匹配成功的概率，Pi=1/(n-m+1)

Pi 表示在第i个位置上匹配成功的概率，Pi=1/(n-m+1)

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问题：
BF算法时间性能低：
在每趟匹配不成功时存在大量回溯，没有利用已经部分匹配的结果。
如何在匹配不成功时主串不回溯？
主串不回溯，模式就需要向右滑动一段距离。(i不移动，j>=0的位置继续进行下一次的比较)

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模式匹配——KMP算法
结论： i可以不回溯，模式向右滑动到的新比较
起点k ，并且k 仅与模式串T有关！

void Compute_Next(char t[], int next[])
{
 int j,k;
      next[0]=-1;j=1;
 while(t[j]!='\0')
 {
  k=next[j-1];
  while((k!=-1)&&(t[k]!=t[j-1]))
   k=next[k];
  next[j]=++k;
  j++;
 }
}

令k = next[ j ]，则：

next[ j ]＝
（1） -1 当j＝0时 //不比较
（2） max { k | 0<k<j 且T0…Tk-1=Tj-(k-1) …Tj-1 }
（3）0 其他情况
next[j]表征着模式T中最大相同前缀子串和左子串（真子串）的长度。

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next[j]的算法分析：
k=next[j-1](由next[]的 定义可以知道：t0t1…tk-1= tj-k…tj-3tj-2)

1. 如果t[k]t[j-1]或k-1（不存在长度相同的前缀子串和左子串 ）
   则t0t1…tk-1tk= tj-k…tj-3tj-2tj-1，因此
   next[j]=k+1，next[j]计算结束
   否则， 查找t0t1…tk的最长左子串
   k=next[k]，转 1 继续执行

k=next[j-1];
while((k!=-1)&&(t[k]!=t[j-1]))
      k=next[k];
next[j]=++k;

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KMP模式匹配算法：

int KMP_FindPat(char *s, char *t,int *next){
 int i=0,j=0,k;
 while(s[i]!='\0' && t[j]!='\0') {
  if(j==-1 || s[i]==t[j]) {
                 i++;
                 j++;
           }
  else
        j=next[j];
 }
 if(t[j]=='\0')
  return i-j;
 else
  return -1;
}

时间复杂性：O(n+m)

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多维数组

数组的定义：
数组是由一组类型相同的数据元素构成的有序集合，每个元素受n(n≥1)个线性关系的约束，并称该数组为 n 维数组。
特点：
1，元素本身可以具有某种结构，属于同一数据类型；
2，数组是一个具有固定格式和数量的数据集合。
二维数组是数据元素为线性表的线性表。

数组的基本操作：
⑴ 存取：给定一组下标，读出对应的数组元素；
⑵ 修改：给定一组下标，存储或修改与其相对应的数组元素。
存取和修改操作本质上只对应一种操作——寻址

（数组没有插入和删除操作，所以，不用预留空间，适合采用顺序存储。）

一维数组：
设一维数组的下标的范围为闭区间［l，h］，每个数组元素占用 c 个存储单元，则其任一元素 ai 的存储地址可由下式确定：
Loc(ai)＝Loc(al)＋(i－l)×c

映射方法：
1，按行优先：先行后列，先存储行号较小的元素，行号相同者先存储列号较小的元素。
2，按列优先：先列后行，先存储列号较小的元素，列号相同者先存储行号较小的元素。

三维数组：
各维元素个数为 m1, m2, m3
下标为 i1, i2, i3的数组元素的存储地址：
按页/行/列存放
说明：各维的下标从0开始
LOC ( i1, i2, i3 ) = a + (i1* m2 * m3+ i2* m3+ i3 )* l

n维数组：
各维元素个数为 m1, m2, m3, …, mn
下标为 i1, i2, i3, …, in 的数组元素的存储地址：
LOC ( i1, i2, …, in ) = a +
( i1m2m3*…mn + i2m3m4…*mn+

• ……+ in-1*mn + in ) * l
  
  矩阵的压缩存储
  特殊矩阵和稀疏矩阵
  特殊矩阵：矩阵中很多值相同的元素并且它们的分布有一定的规律。
  稀疏矩阵：矩阵中有很多零元素。
  压缩存储的基本思想是：
  ⑴ 为多个值相同的元素只分配一个存储空间；
  ⑵ 对零元素不分配存储空间。

对称矩阵的压缩存储：
aij在一维数组中的序号
= i×(i-1)/2+ j
∵一维数组下标从0开始
∴aij在一维数组中的下标
k= i×(i-1)/2+ j-1
对于下三角中的元素aij(i≥j), 在一维数组中的下标k与i、j的关系为：
k＝i×(i-1)/2＋j-1 。
上三角中的元素aij（i＜j），因为aij＝aji，则访问和它对应的元素aji即可，即：
k＝j×(j-1)/2＋i -1。
特殊矩阵的压缩存储——对角矩阵 （带状矩阵）
对角矩阵：所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，除了主对角线和它的上下方若干条对角线的元素外，所有其他元素都为零。
对角矩阵 （带状矩阵）压缩存储方法一 ：二维数组法
对角矩阵 （带状矩阵）压缩存储方法一 ：二维数组法
稀疏矩阵的压缩存储
将稀疏矩阵中的每个非零元素表示为：
(行号，列号，非零元素值)——三元组
定义三元组：

template <class T>
struct element
{    
    int row, col;     //行号，列号
    T item              //非零元素值
};

三元组表：将稀疏矩阵的非零元素对应的三元组所构成的集合，按行优先的顺序排列成一个线性表
存储结构定义：

const int MaxTerm=100;
    template <class T>
    struct SparseMatrix
    {
       T data[MaxTerm];   //存储非零元素
       int mu, nu, tu;           //行数，列数，非零元个数
    };

稀疏矩阵的压缩存储——十字链表
采用链接存储结构存储三元组表，每个非零元素对应的三元组存储为一个链表结点，结构为：

row：存储非零元素的行号
col：存储非零元素的列号
item：存储非零元素的值
right：指针域，指向同一行中的下一个三元组
down：指针域，指向同一列中的下一个三元组

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十字链表结点类的定义

template<class T>
class OLNode
{
 
public:
 int row,col;
 T element;
 OLNode<T>* right,*down;
public:
 OLNode(){right=NULL;down=NULL;};
};

广义表
广义表（列表）： n (  0 )个表元素组成的有限序列，记作：
LS = (a0, a1, a2, …, an-1)
LS是表名，ai是表元素，它可以是表 (称为子表)，可以是数据元素(称为原子)。
n为表的长度。n = 0 的广义表为空表。
长度：广义表LS中的直接元素的个数；
深度：广义表LS中括号的最大嵌套层数。
表头：广义表LS非空时，称第一个元素为LS的表头；
表尾：广义表LS中除表头外其余元素组成的广义表。

广义表与线性表的区别？
线性表的成分都是结构上不可分的单元素
广义表的成分可以是单元素，也可以是有结构的表
线性表是一种特殊的广义表
广义表不一定是线性表，也不一定是线性结构
广义表的基本运算：
（1）求表头GetHead(L)：非空广义表的第一个元素，可以是一个单元素，也可以是一个子表
（2）求表尾GetTail(L)：非空广义表除去表头元素以外其它元素所构成的表。表尾一定是一个表
（广义表中的数据元素的类型不统一，因此难以采用顺序存储结构来存储）

广义表的存储结构——头尾表示法

定义结点结构

template <class T>
struct GLNode {  
   Elemtag tag; 
   union    {
      T data; 
      struct 
      {
          GLNode *hp, *tp; 
       } ptr;                            
    };
};

广义表的特点：
1，有次序性
2，有长度
3，有深度
4，可递归
5，可共享