数据结构与算法之动态规划

经典题目

以打家劫舍这个例子开始

其实这个题目的意思就是：给你一个数组，拿取不相邻的数组的值，求所有可能拿取的值中的最大值。
题目分析：

递归方式

就是自己调用自己，一种暴力枚举的方式。所谓暴力是没有经过任何的优化，枚举了所有的情况的方式。

//从后向前遍历做法
class Solution {
public:
	int help(int index){
		if(index==0)return nums[0];
		if(index==1)return max(nums[0],nums[1]);
		int use=help(index-2)+nums[index];//选了当前这个数
		int ofuse=help(index-1);//不选当前这个数
		return max(use,ofuse);
}
    int rob(vector<int>& nums) {
    if(nums.size()==0)return 0;
    return help(nums.size()-1);
    }
};

记忆化递归

开始真正的动态规划之前，先记录下记忆化搜索的这种方式。
所谓记忆化搜索，就是对于会重复遍历或者说重复计算的部分，直接用数组或者其他集合去存起来，这样当下一次如果计算到相同的值的时候，就可以免去计算直接拿出这个想要的值了。

//从后向前遍历做法
class Solution {
public:
	int help(vector<int>nums,int index,vector<int>&vis){
		if(index==0)return nums[0];
		if(index==1)return max(nums[0],nums[1]);
		if(vis[index]!=-1)return vis[index];//如果不是-1，说明递归计算过了
		int use=help(nums,index-2,vis)+nums[index];//选了当前这个数
		int ofuse=help(nums,index-1,vis);//不选当前这个数
		int m=max(use,ofuse);
		vis[index]=m;//记忆化存储
		return m;
}
    int rob(vector<int>& nums) {
    vector<int>ans(nums.size(),-1);//初始值为-1，如果递归节点的值已经 
    if(nums.size()==0)return 0;
    return help(nums,nums.size()-1,ans);
    }
};

DP

自底向上。将大规模的问题转换为小规模的问题。基本上所有的动态规划都可以使用递归的式子来转换过来。
要素：

1. 初始化：可以根据状态方程式来设置初始值。
2. 状态转移方程式：想一下递归式子，要根据题意推导。
3. 缓存中间结果：用数组或者其他集合来缓存。一般数组大小为原数组大小。
4. 顺序问题：要找到依赖关系，当前的对象由谁推导出来的。

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()==0)return 0;
        if(nums.size()==1)return nums[0];
        int dp[110];
        dp[0]=nums[0];
        dp[1]=max(nums[0],nums[1]);
        for(int i=2;i<nums.size();i++){
            dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);//可以状态压缩
        }
        return dp[nums.size()-1];
    }
};

动态规划详解

介绍

拿到一个题目，如何知道这个题目能用动态规划？

状态是什么要如何判断？如何准确定义？

基本题型
线性DP
子序列和子串
首先是几个需要熟记的点：

1. 子序列:子序列并不要求连续
2. 子串:子串一定是原始字符串的连续子串
3. 回文串：一个字符串，正着读和反着读是一样的。

入门题目：

1. 数字三角形
2. 滑雪

经典题目：

1. 不同路径II
2. 最大子序和
3. 最长上升子序列
4. 最长公共子序列
5. 最长重复子数组
6. 最长回文子串

背包

0-1背包问题：
问题描述：现在有N件物品，一个背包容量为M，每个物品的体积为v,每个物品的价值是w，现在要求出这N件物品的最大价值。
状态方程分析：像这种先确定是使用一维还是二维，首先物品肯定要算上，另外还有限制条件就是物体的体积，同时考虑问题要求出什么，现在是求出这总共的N件物品的最大价值，可以先考虑第一件物品，第一和第二…同时标注出前i件物品使用多少体积，因此得到dp定义：dp[i][j]:前i件物品在使用体积不超过j的情况下的最大价值。
代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;//n物品个数，m是背包的容量
int f[N][N];//最大价值
int v[N], w[N];//V是每个物品的体积，w是每个物品的价值
int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	//初始化就是0件物品最大价值肯定是0
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
		//如果不取出这第i件物品，那体积无变化
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			//如果取出这第i件数物品放入背包，首先要保证前i件物品使用的体积大于这第i件物品的体积，不然根本放不下去。
			if (j>=v[i]) {
			//拿出第i件物品放入背包，那现在的就可以正常的由前面一件物品推出来，
			//同时，同一个i要找出满足最大价值的j，遍历物品结束之后找到n件物品在背包容量m的约束下最大的价值
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}
	int res = 0;
	//已经算出了不同的i最合适的j了，直接固定n在0-m里面找最合适的i就行了，其实这里直接写f[n][m]就是可以的
	for (int i = 0; i <= m; i++) {
	    res=max(res,f[n][i]);
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

状态压缩

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;//n物品个数，m是背包的容量
int f[N];//最大价值
int v[N], w[N];//V是每个物品的体积，w是每个物品的价值
int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	//初始化就是0件物品最大价值肯定是0
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//物品个数
		for (int j = m; j >= v[i]; j--) {//背包体积变化
				f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}
	//已经算出了不同的i最合适的j了，直接固定n在0-m里面找最合适的i就行了，其实这里直接写f[n]就是可以的
	cout << f[m]<< endl;
	return 0;
}

遍历顺序：关于内循环遍历背包的容量是从后向前遍历的原因是：如果从前向后遍历，那更新的dp值就会覆盖以前的dp值，当下一步要利用以前的状态去推导的时候就会发生错误，而从后向前更新，不会覆盖以前的dp值。
经典题目：

1. List item

完全背包问题：

打家劫舍
股票

1. List item

待补：