逆元

最新推荐文章于 2025-02-17 23:38:12 发布

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分类专栏：逆元

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本文详细介绍了逆元的概念及其在求解特定数学问题中的应用。通过逆元，可以将除法转换为乘法，避免大数运算时的精度损失。文章探讨了三种求逆元的方法：费马小定理、扩展欧几里得算法和逆元线性筛。适用于素数模意义下的逆元求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

逆元（inv）

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)1%m = (a/b)bc%m = ac(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

逆元就是这样应用的；

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在是素数的情况下，对任意整数都有。
如果无法被整除，则有。
可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。

题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

复杂度O(logn)；

代码：

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else {
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
ll inv(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    extend_gcd(a, n, x, y);
    x = (x % n + n) % n;
    return x;
}

(3) 逆元线性筛 ( P为质数 )
求1,2,…,N关于P的逆元（P为质数）

复杂度：O(N)

代码：

const int mod = 1000000009;
const int maxn = 10005;
int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < 10000; i++)
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

如果是求阶乘的逆元呢？（阶乘数组：fac[ ]）

代码

inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);
for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
    inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;