数据结构——图最短路径问题

最短路径

我们把边带有权值的图称为带权图，边的权值可以表示
两点之间的距离。
一张图中任意两点间会有不同的路径相连。
最短路径就是指连接两点的这些路径中最短的一条。

有一点需要特别注意：边的权值可以为负。当出现负边权时，有些算法不适用。
dis[u][v]表示从u到v最短路径长度，w[u][v]表示连接u，v的边的长度。

Floyd-Warshall算法

简称Floyd(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。
Floyed的时间复杂度是O (n^3)，适用于出现负边权的情况。
算法思想：
考虑任意两点（u和v）间的所有可能路径情况：
u直接到达v {u，v}。
u经过其他点到达v{u, vi, ……, v}。

算法策略：
如何穷尽Vi 到 Vj 的所有可能存在的路径？
可能的路径情况：
如果Vi 和Vj 邻接，{Vi , Vj }
通过一个其他顶点中转，表示为{Vi , Vk , Vj } ，其中k≠i、j。
通过两个其他顶点中转，可表示为
{Vi ， Vk ， Vl， Vj }，其中k、l 与i、j均不等。
依次类推， Vi 到Vj 的路径最多可能通过n-2 个顶点中转可达，即除了路径的起点、终点，其他顶点都可能出现在该路径中。

Floyd算法设计：
1.利用矩阵完成路径检测过程

矩阵D(i) 包含中转顶点不超过 i（即中转顶点从0到 i） 的所有最短路径长度。

矩阵D(0) D(0)[i][j]：从V[i]到V[j]，中间顶点可以是V[0]的最短路径长度。V[0]因为不确定是从0开始的还是从1开始的第一个点。所以用V[0]代替。

矩阵D(k) D(k)[i][j]：从V[i]到V[j]，中间顶点序号不大于k的（即从V[0]到k）最短路径长度。

不断更新矩阵D。
……
直到最后D(n-1) D (n-1)[i][j]: 从V[I]到V[j]的最短路径长度。
2.路径长度矩阵序列求解过程
首先，设置初始状态：D(-1)(邻接矩阵)
然后，通过递推，求解每一个D(i)
矩阵D(k-1) --------> 矩阵D(k)过程
若不存在以k为中转点的vi到vj的最短路径：
D(k)[i][j] = D(k-1)[i][j];
若存在以k的vi到vj的最短路径：
D(k)[i][j] = D(k-1)[i][k] + D(k-1)[k][j];
3.如何记录最短路径的顶点序列？
用矩阵P（二维数组）来存储路径
P[i][j]存储当前最短路径更新时的中转点
最后以递归的方法来输出整个路径

大致代码

void Floyd( )
 {
  for( i=1; i<=n; ++i)
    for(j=1; j<=n; ++j) 
    {
       D[i][j] = G[i][j];    //第一步，初始化：用图G 的邻接矩阵初始化二维数组D。二维数组P 的元素初始化。    
       P[i][j] = -1;
    }
  for(k = 1; k<=n; ++k)
    for(i=1; i<=n; ++i)
      for(j=1; j<=n; ++j)

           if(D[i][j] >D[i][k] + D[k][j] )//第二步，对每个顶点Vk，若D[i][k]+D[k][j]< D[i][j]，则用D[i][k]+D[k][j]更新D[i][j]，并且修改P[i][j]为k。
          {
              D[i][j] = D[i][k] + D[k][j] ;          P[i][j] = k;
           }
}

利用数组P进行递归输出各条最短路径：
比如，输出B到A的路径：
因为P[2][1]为4，说明这条路径经过了4号顶点，即：顶点D。因此它是由B到D的最短路和D到A的最短路构成；
同样根据P[2][4]是3，可知它由B到C的最短路和C到D最短路构成，以此类推，因此通过递归就可以输出该条路径。

void print(int i,  int  j)
{
  if (P[i][j] == -1) return; 
  print( i,  P[i][j]); //前半段路
    cout << P[i][j]<<"->" ;
     print( P[i][j] , j); //后半段路

}