数据结构——初学树

树的简介

树是一种非线性数据结构。由n（n>=0）个节点构成，第一个节点称为根节点。树是由根节点（唯一）+子树（m >= 0）组成且子树之间互不相交。
特点：元素间称为“一对多”关系，呈现分支、分层的形态。 最简单和常用的是二叉树。

树的基本概念

右边的树中A为根节点B、C、D为A的孩子，A为他们的父亲。B、C、D之间为兄弟。把以B、C、D为根节点的数称为子树。

森林：
m（m>=0）棵互不相交的树的集合。

任何一棵非空树可表示为一个二元组
Tree = （root，F）

二叉树

二叉树的递归定义：二叉树要么为空，要么由根节点（root）、左子树（left subtree）、右子树（right subtree）组成，而左子树和右子树分别是一颗二叉树。

二叉树的特点：

1.每个结点至多只有两棵子树 。
2.子树有左右之分，其次序不能任意颠倒，只有一棵子树时也必须分清左右子树 。
3.子树必须是二叉树。

二叉树的性质
性质1：
二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i ≥ 1）。
性质2 ：
深度为 k 的二叉树上至多含 2^k-1 个结点（k ≥ 1）。由等比数列求和公式得到（1 - 2^k） / (1-2) = 2^k-1。

满二叉树：深度为k且有2^k-1个结点的二叉树。
如图就是个4层满二叉树，必须符合这样的编号方式。

完全二叉树：
深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树编号从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树。就是说与满二叉树编号方式相同但是从右边可以有空子树。

性质3 ：
具有 n 个结点的完全二叉树的深度为【log2n】 +1 。【】是取整。
证明：设完全二叉树的深度为 k
则根据第二条性质得 2^k-1≤ n < 2^k
即 k-1 ≤ log2 n < k
因为 k 只能是整数，因此，k =【log2n】 + 1 。
性质4 ：
若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，
否则，编号为 【i/2】 的结点为其双亲结点；
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

二叉树的存储
1.顺序存储
2.链式存储