codeforces #1325-E Ehab's REAL Number Theory Problem题解

codeforces #1325-E Ehab’s REAL Number Theory Problem题解

题面

题意

给出$n$个数字，每个数字至多有7个因子，让你求出最少选多少个数，能够使他们的乘积是一个完全平方数。

做法

考虑只有七个因子，不难发现一个数至多有$2$个质因子，并且每个质因子的指数对$2$取模不影响结果。

所以每个数一定形如 $1,p,p\ast q$ 这三种之一。若有一个数是$1$,答案显然是一，若有重复的数，答案则是$2$。对于其他情况，考虑对一个数$p\ast q$ 在$p,q$之间建一条边，一个数$p$ 在$1,p$之间建一条边，答案就是图中的最小环。而如果要求出每一个点所在环的大小，复杂度是$O(n^2)$的，我们令$m=\sqrt{max(a_i)}$ 发现对于$>m$的数之间，必然没有边，所以对于一个环中的一个$\ge m$的数字，两边相连的必然是$\le m$的数字，换句话说，一个环中必然有$\le m$的数字存在。于是，我们只要枚举$\le m$的数字做一遍$bfs$就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1000015
#define inf 0x3f3f3f3f 
using namespace std;
int n,ans = inf,dis[N];
bool gkp[N];
vector<int> a,p,e[N];
queue<int> q;
int check(int x){
	for(int i = 2;i*i <= x;++i){
		if(x%i) continue;
		int cnt = 0;
		while(x%i==0){
			cnt ++;
			x /= i;
		}
		if(cnt%2==1) x *= i;
	}
	return x;
}
void bfs(int x){
	for(int i = 0;i < p.size();++i) dis[p[i]] = inf,gkp[p[i]] = 0;
	while(!q.empty()) q.pop();
	q.push(x);
	gkp[x] = 1;
	dis[x] = 0;
	while(!q.empty()){
		int u = q.front();q.pop();
		gkp[u] = 0;
		for(int i = 0;i < e[u].size();++i){
			int v = e[u][i];
			if(dis[v] > dis[u] + 1){
				dis[v] = dis[u]+1;
				q.push(v);
				gkp[v] = 1;
			}else if(gkp[v]) ans = min(ans, dis[u]+dis[v]+1);
		}
	}
}
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		int temp;
		scanf("%d",&temp);
		a.push_back(check(temp));
//		cout << check(temp) << endl;
	}
	sort(a.begin(),a.end());
	if(a[0] == 1){
		puts("1");
		return 0;
	}
	a.erase(unique(a.begin(),a.end()),a.end());
	if(a.size() < n){
		puts("2");
		return 0;
	}
	for(int i = 0;i < n;++i){
		int cur[2];
		cur[0] = a[i];cur[1] = -1;
		for(int j = 2;j*j <= a[i];++j){
			if(a[i] % j) continue;
			cur[0] = j;
			if((a[i]/j) != 1) cur[1] = a[i]/j;
			break;
		}
		if(cur[1]==-1) cur[1] = 1;
//		cout << cur[0] <<  ' ' << cur[1] << endl;
		p.push_back(cur[0]);
		p.push_back(cur[1]);
		e[cur[0]].push_back(cur[1]);
		e[cur[1]].push_back(cur[0]);
	}
	sort(p.begin(),p.end());
	p.erase(unique(p.begin(),p.end()),p.end());
	for(int i = 1;i <= 1000;++i){
		if(e[i].empty()) continue;
		bfs(i);
	}
	if(ans == inf) printf("-1");
	else printf("%d",ans);
	return 0;
}