整数分块入门--BZOJ1257余数之和

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1257: [CQOI2007]余数之和

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题目链接https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值

其中k mod i表示k除以i的余数。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

1<=n ,k<=10^9

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

大概意思就是让你计算 $\sum_{i=1}^{n} k\%i$ 。。。这个和整数分块有什么关系呢？

$\sum_{i=1}^{n}k\%i=\sum_{i=1}^{n}k-\left[ \frac{k}{i} \right ]*i=\sum_{i=1}^{n}k-\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac{k}{i} \right ]*i$ 前面就是n*k，后面就是分块操作了。。。

我们首先需要知道的是对于一个数x,从i到[x/[x/i]]这整块区域的值都是一样的，那么也就是说我们可以直接找区间的端点进行计算就好了：

for (ll l=1,r=0; l<=n; l=r+1){
     if (k/l) r=min(k/(k/l),n);//由于k的值可能大于n，所以需要取min
     else r=n;
     *****
}

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define ll long long
 
const int mac=1e5+10;
 
int main()
{
    ll n,k;
    cin>>n>>k;
    ll ans=n*k;
    for (ll l=1,r=0; l<=n; l=r+1){
        if (k/l) r=min(k/(k/l),n);
        else r=n;
        ans-=(l+r)*(r-l+1)*(k/l)/2;//一段等差数列*一段一样的数
    }
    cout<<ans<<endl;
     
    return 0;
}