【基础算法】重建道路

最新推荐文章于 2020-07-16 23:55:06 发布

原创最新推荐文章于 2020-07-16 23:55:06 发布 · 391 阅读

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博客探讨了在一场地震后，Farmer John的牧场重建过程中如何确定最小数量的道路破坏，以便在道路被毁时能将指定数量的牲口棚（P个）隔离成子树。文章提供了一个例子，并描述了输入输出格式。分析部分讨论了状态转移方程和初始化策略，以解决这个问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

星期四

一场可怕的地震后，人们用N个牲口棚(1≤N≤150，编号1..N)重建了Farmer John的牧场。由于人们没有时间建设多余的道路，所以现在从一个牲口棚到另一个牲口棚的道路是惟一的。因此，牧场运输系统可以被构建成一棵树。
John想要知道另一次地震会造成多严重的破坏。有些道路一旦被毁坏，就会使一棵含有P(1≤P≤N)个牲口棚的子树和剩余的牲口棚分离，John想知道这些道路的最小数目。
例如，如图所示的牧场，要求P=6。如果道路1-4和1-5被破坏，含有节点（1，2，3，6，7，8）的子树将被分离出来。

输入

第1行：2个整数，N和P
第2..N行：每行2个整数I和J，表示节点I是节点J的父节点。

输出

第1行：1个整数，表示一旦被破坏将分离出恰含P个节点的子树的道路的最小数目。

样例输入

样例输出

分析

根据题意，很容易设计出状态

dp[i][j]:在以 i 为树根的子树中分离出 j 个节点需要砍断路径数的最小值

显然，当j = 1时，dp[i][j] = i 的儿子数；

又因为他需要求最小值，所以dp的初始化为极大值。

And，状态转移方程为

$dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[son][j - k] - 2)$

后面跟了个减二，很神奇吧……

具体原因：

显然我们处理的时候并没有考虑父亲（也就是假设 i 点没有与父亲相连），但显然我们在初始化的时候 i 就加上了 $u\rightarrow v$ 的这条边

而同理，son也算了 $v\rightarrow u$ 的这条边，但这两条边不正是一条边吗？所以他因算了两遍而需要减去。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#define M 150
#define reg register
using namespace std;

int n,m,d[M + 5],dp[M + 5][M + 5];
vector < int > G[M + 5];

void dfs(int x,int  fa){
    for (reg int i = 0;i < G[x].size(); ++ i){
        int s = G[x][i];
        if (s == fa)
            continue;
        dfs(s,x);
        for (reg int j = m;j >= 1; -- j)
            for (reg int k = 1;k <= j; ++ k)
                dp[x][j] = min(dp[x][j],dp[x][k] + dp[s][j - k] - 2);
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (reg int i = 1;i < n; ++ i){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
        ++ d[x];
        ++ d[y];
    }
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    for (reg int i = 1;i <= n; ++ i)
        dp[i][1] = d[i];
    dfs(1,0);
    int ans = dp[1][m];
    for (reg int i = 2;i <= n; ++ i)
        if (dp[i][m] <= ans)
            ans = dp[i][m];
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}