星星之火OIer：2019.4.11考试总结（一）——小凯的疑惑

原创于 2019-04-20 17:23:07 发布 · 300 阅读

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本文探讨了塞瓦维斯特定理在竞赛编程中的应用，详细解析了该定理的证明过程，并通过一个具体的编程实例展示了如何利用该定理解决数学问题。文章深入浅出地解释了定理背后的数学原理，为读者提供了理解与应用塞瓦维斯特定理的清晰路径。

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这是2019.4.11考试中的第一题

同样是NOIP2017提高组day1的第一题

还是先给一下题：：

这是LGOJ上的题

这道题据说是用的塞瓦维斯特定理，~~但百度上都搜不到就有点神奇了~~

代码其实很简单：：

#include<cstdio>
int a,b;
int main() {
    read(a),read(b);
    pr(a*b-a-b);
}

这里的read和pr就看这里辣

首先，如果你实在不知道塞瓦维斯特定理，你可以递推：：

$a=2,b=3,ans=1$

$a=2,b=5,ans=3$

$a=2,b=7,ans=5$

$a=3,b=5,ans=7$

$a=3,b=7,ans=11$

$a=5,b=7,ans=23$

$a=5,b=11,ans=39$

$\cdots\cdots\cdots\cdots$

当然

塞瓦维斯特定理是这个样子的：：

$a,b>1,(a,b)=1$

则使不定方程 $a*x+b*y=C$ 的无负整数的最大整数解的 $C=a*b-a-b$

好绕

证明如下：：

若有 $x,y>=0$ 且 $a*x+b*y=a*b-a-b$ ，则

移项，得 $a*(x+1)+b*(y+1)=a*b$

$a*(x+1)=b*(a-y-1)$

因为 $(a,b)=1$

所以 $b|(x+1)$

同理可证 $a|(y+1)$

所以 $(x+1)>=b,(y+1)>=a$

所以 $a*(x+1)+b*(y+1)>=a*b+b*a>=2*a*b$

因为之前假设的 $a*(x+1)+b*(y+1)=a*b$

至此通过反证法证出没有 $x,y>=0$ 使得 $a*x+b*y=ab-a-b$

以上只是万里长征的第一步

现在我们要来证有一个数 $C>=a*b-a-b+1$

即 $C+a+b>=a*b+1$

因为有裴蜀定理

所以必定有 $x_0,y_0$ 使得 $a*x_0+b*y_0=1$

设 $C+a+b=k*a+m(k>=b,1<=m<=a)$

则一定存在 $x_1,y_1$ 且 $1-b<=x_1<=-1$

使得 $a*x_1+b*y_1=m$

那么 $y_1>0$

那么我们取 $x=k+x_1-1,y=y_1-1$

所以 $a*x+b*y=C$

所以对于任意一个 $C>=a*b-a-b+1$

都存在 $x>=0,y>=0$ 使 $a*x+b*y=C$

证明完毕

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