树的定义：
树是一种数据结构，包含N个结点和N-1条边。树形结构的特点是一个数据元素可以有很多个直接后继，但只有一个直接前驱。而这里面最常见的就是二叉树。当树边的长度未给出时默认是1。
一般建图模板（链式前向星）
*基环树：*就是n个点n条边的连通图，可以发现只有一个环，并且删掉环上任意一个边可以变成一棵树。
int head[maxn];
struct edge
{
int to,next,l;
}e[maxn*2];
void add(int x,int y,int l)
{
e[cnt].to=y;
e[cnt].l=l;
e[cnt].next=head[x];
head[x]=cnt++;
}
树的一些名词解释：
重儿子：每个点的子树中，子树大小(即节点数)最大的子节点
轻儿子：除重儿子外的其他子节点
重边：每个节点与其重儿子间的边
轻边：每个节点与其轻儿子间的边
重链：重边连成的链
轻链：轻边连成的链
树的直径:
树的直径就是树上存在的最长路径。求树的直径一般有两种方法。两次DFS或两次BFS和树形DP。
1.双DFS：两次DFS一般除了求出树的直径长度外还能求出路径等一些奇奇怪怪的操作，但是不能处理存在负权边的树。第一次DFS先随便取一个点作为根结点求出最深点p，p就是树的直径的一个端点，再以p为根结点进行第二次DFS，找到最深点q,p和q即为树的直径的两个端点。下面给出的代码中tot记录了树的直径的长度。
void dfs1(int u,int fa)
{
if(dis[u]>=tot)
{
p=u;
tot=dis[u];
}
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dis[v]=dis[u]+e[i].l;
dfs1(v,u);
}
}
void dfs2(int u,int fa)
{
if(dis[u]>tot)
{
p=u;
tot=dis[u];
}
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dis[v]=dis[u]+e[i].l;
f[v]=u;//记录直径上的点
b[v]=i;//记录直径上的边
dfs2(v,u);
}
}
2.树形DP求树的直径:树形DP求树的直径只能求出直径长度，不能记录路径
void dfsdp(int u,int fa)
{
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dfsdp(v,u);
tot=max(tot,dis[u]+dis[v]+e[i].l);
//先更新直径长度再更新最长点到当前点的距离，避免最长边被记录两次
//可联想当前子树是链的情况
dis[u]=max(dis[u],dis[v]+e[i].l);
}
}
树上(最近公共祖先)LCA问题：
模板题 洛谷P3379
定义：两个点的最近公共祖先，即两个点的所有公共祖先中，离根节点最远的一个节点。
求解最近公共祖先，常用的方法是树上倍增或者树链剖分。
*倍增求LCA：*倍增比起树链剖分，代码短，容易查错，时空复杂度也优很多（nlogn），只是功能有些欠缺。
倍增的思想是二进制。首先开一个n×logn的数组，比如fa[n][logn],其中fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁。
然后，我们会发现有这么一个性质：
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
用文字叙述为：i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲。
我们知道，一个数的二进制形式中，如果右边数第i位上是1，表示这个数如果分解为若干个2的次幂的和的形式，其中有一项一定是2^(i-1)。
举个例子：10的二进制表示为1010，它的第2位和第4位上是1，所以10=2^1
+2^3。
我们可以通过一次dfs处理出fa数组：（dep[i]表示i的深度，这个可以一起处理出来，以后要用）如果待处理的树有n个节点，那么最多有一个节点会有2^(logn)个父亲，所以我们的fa数组第二维开logn就够了。
对于求u、v的LCA，我们可以先把u、v用倍增法把深度大的提到和另一个深度相同。如果此时u、v已经相等了，表示原来u、v就在一条树链上，直接返回此时的结果。对于求u、v的LCA，我们可以先把u、v用倍增法把深度大的提到和另一个深度相同。如果此时u、v已经相等了，表示原来u、v就在一条树链上，直接返回此时的结果。
如果此时u、v深度相同但不等，则证明他们的lca在更“浅”的地方，此时需要把u、v一起用倍增法上提到他们的父亲相等。为啥是提到父亲相等呢？因为倍增法是一次上提很多，所以有可能提“过”了，如果是判断他们本身作为循环终止条件，就无法判断是否提得过多了，所以要判断他们父亲是否相等。
void dfs(int u,int fa,int d) //求出每个点的深度以及父亲结点
{
dep[u]=d;
p[u][0]=fa;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dis[v]=dis[u]+1;
dfs(v,u,d+1);
}
}
void intit() //倍增操作
{
for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)
{
for(int u=1;u<=n;u++)
{
p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
}
}
}
int LCA(int u,int v) //查询操作
{
if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
int d=dep[u]-dep[v];
for(int j=20;j>=0;j--)
{
if((1<<j)&d)u=p[u][j];
}
if(u==v)return u;
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(p[u][i]!=p[v][i])
{
u=p[u][i];
v=p[v][i];
}
}
return p[u][0];
}
树上倍增：
树上倍增操常见的都是向上倍增即求LCA，具体看上面求LCA的。还有一种操作是向下倍增，可用于快速求出子树的重心。向上倍增操作基于当前结点的父亲结点，向下倍增操作一般基于当前结点的重儿子即子树最大的结点。向下倍增操作实例见下方树的重心的例题。
树的重心：
定义：设f(x)表示节点x为根时，所有的子树节点个数中的最大值。f(x)最小的节点即这颗无根树的重心。
性质：
1.以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。
2.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。
3.把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
4.在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
5.记g(node)表示node为根的子树的重心。假设son是node的子树中size最大的儿子（重儿子），那么g(node)一定是g(son)的祖先，因此让g(son)向上跳即可。这个很显然。g(node)一定在node所在的重链上。
求树的重心：1.利用树形DP(两次DFS，树形DP也是DFS实现的感觉没什么区别)，第一次DFS求出以每个节点为根的子树大小以及所有结点到1号点的距离和(默认以1号点为根)，第二次DFS求出每一个点到其他所有点的距离和。转移方程解释看模板。模板题洛谷P1395。
void dfs1(int u,int fa)
{
siz[u]=1;
f[u]=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs1(v,u);
siz[u]+=siz[v];
f[u]+=f[v];
}
f[u]+=siz[u]-1;
}
void dfs2(int u,int fa)
{
//fa是u的父亲结点，f代表的是每一个点到其他所有点的距离总和
//父亲结点向子节点推移时，距离和要减去以子节点为根的子树大小再加上剩下结点(树结点总数减去以u为根的子树的数量)
if(u!=fa)f[u]=f[fa]-siz[u]+n-siz[u];
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs2(v,u);
}
}
一些拓展操作：
1.快速求出每颗子树的重心，利用基于重链上的向下倍增。
重链就是 例题 洛谷P5666 把每一条边都分裂一次，求出每次分裂两颗子树的重心和。即快速求出每颗子树的重心。记g(node)表示node为根的子树的重心。假设son是node的子树中size最大的儿子（重儿子），那么g(node)一定是g(son)的祖先，因此让g(son)向上跳即可。这个很显然。g(node)一定在node所在的重链上。
对于一个点,若x不是重心,重心要么在重儿子子树里,要么在父亲节点上
第一次dfs求出son[x],s[x]。p[x][i]表示x沿着重儿子走2^i步
第二次dfs换根,把上面数组的定义从以1为根改为以x为根
对于一条边,以下方的重心,可以直接倍增,可以跳的条件为上方的size<=sum/2
对于上方的重心,换根时记录信息,倍增方法一样
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3e5+10;
typedef long long int ll;
int n,cnt;
struct edge
{
int to,next;
}e[maxn*2];
int head[maxn],p[maxn][20],siz[maxn],son[maxn];
int son1[maxn],son2[maxn],f[maxn],siz2[maxn],ff[maxn];
//son记录最大子树,son2记录次大子树,son1记录临时最大儿子
void add(int x,int y)
{
e[cnt].to=y;
e[cnt].next=head[x];
head[x]=cnt++;
}
void dfs1(int u,int fa) //搜索最大儿子与次大儿子，并向下建立倍增
{
siz[u]=1; //记录子树大小
f[u]=fa;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs1(v,u);
if(siz[v]>siz[son[u]])son2[u]=son[u],son[u]=v;
else if(siz[v]>siz[son2[u]])son2[u]=v;
siz[u]+=siz[v];
}
p[u][0]=son[u];
for(int i=1;i<=17;i++)p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
}
ll ans;
int check(int x,int sum) //检查该点是否是树的重心
{
return x*(max(siz2[son1[x]],sum-siz2[x])<=sum/2);
}
void dfs2(int u,int fa)
{
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
siz2[u]=siz[1]-siz[v];ff[v]=ff[u]=0;
if(son[u]==v)son1[u]=son2[u];
else son1[u]=son[u];
if(siz2[fa]>siz2[son1[u]])son1[u]=fa;//因为换根后当前根结点是u，所以非u的子树上的点可以看出u的以u的fa结点为根节点的子树。因为也是u的一颗子树了，所以要判断是不是最大子树
p[u][0]=son1[u];
for(int j=1;j<=17;j++)p[u][j]=p[p[u][j-1]][j-1];//断边换根结束
int b=u;
for(int j=17;j>=0;j--)//向下倍增寻找树的重心
{
if(siz2[u]-siz2[p[b][j]]<=siz2[u]/2)b=p[b][j];
}
ans+=check(son1[b],siz2[u])+check(b,siz2[u])+check(ff[b],siz2[u]);
//记录答案，子树重心最多只有两个，只可能落在b点以及b点父亲结点或者最大儿子结点
b=v;
for(int j=17;j>=0;j--)//向下倍增寻找树的重心
{
if(siz2[v]-siz2[p[b][j]]<=siz2[v]/2)b=p[b][j];
}
ans+=check(son1[b],siz2[v])+check(b,siz2[v])+check(ff[b],siz2[v]);
ff[u]=v;//下一次换根时v为根，所以v会变成u的父亲结点
dfs2(v,u);
}
son1[u]=p[u][0]=son[u];ff[u]=f[u];
for(int j=1;j<=17;j++)p[u][j]=p[p[u][j-1]][j-1];
siz2[u]=siz[u];
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(siz,0,sizeof(siz));
memset(son,0,sizeof(son));
memset(f,0,sizeof(f));
memset(son2,0,sizeof(son2));
ans=cnt=0;
scanf("%d",&n);
int x,y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs1(1,0);
memcpy(siz2,siz,sizeof(siz2));
memcpy(son1,son,sizeof(son1));
memcpy(ff,f,sizeof(ff));
dfs2(1,0);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
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