distinct-subsequences 求S有多少个不同的子串与T相同

最新推荐文章于 2023-08-02 15:33:20 发布

Tang7O

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分类专栏：算法

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本文探讨了如何计算一个字符串作为另一个字符串子序列的出现次数，通过递归和动态规划两种方法解决这一问题。提供了详细的算法解释及Java代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences ofT inS.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie,"ACE" is a subsequence of"ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

简单翻译一下，给定两个字符串S和T，求S有多少个不同的子串与T相同。S的子串定义为在S中任意去掉0个或者多个字符形成的串。

递归求解：

首先找到在S中与T的第一个字符相同的字符，从这个字符开始，递归地求S和T剩下的串。T为空串时，返回1。因为空串本身是另外一个串的一个子序列。这个算法实现简单，但是果然不出意料，大集合超时。

public int numDistinct(String S, String T) {  
  // Start typing your Java solution below  
  // DO NOT write main() function  
  if (S.length() == 0) {  
    return T.length() == 0 ? 1 : 0;  
  }  
  if (T.length() == 0) {  
    return 1;  
  }  
  int cnt = 0;  
  for (int i = 0; i < S.length(); i++) {  
    if (S.charAt(i) == T.charAt(0)) {  
      cnt += numDistinct(S.substring(i + 1), T.substring(1));  
    }  
  }  
  return cnt;  
}

遇到这种两个串的问题，很容易想到DP。但是这道题的递推关系不明显。可以先尝试做一个二维的表int[][] dp，用来记录匹配子序列的个数（以S ="rabbbit",T = "rabbit"为例）：

r a b b b i t

1 1 1 1 1 1 1 1

r 0 1 1 1 1 1 1 1

a 0 0 1 1 1 1 1 1

b 0 0 0 1 2 3 3 3

b 0 0 0 0 1 3 3 3

i 0 0 0 0 0 0 3 3

t 0 0 0 0 0 0 0 3

从这个表可以看出，无论T的字符与S的字符是否匹配，dp[i][j] = dp[i][j - 1].就是说，假设S已经匹配了j - 1个字符，得到匹配个数为dp[i][j - 1]（即若S[j]!=T[i]，则该出现次数等于T[0-i]在S[0-(j-1)]出现的次数）.现在无论S[j]是不是和T[i]匹配，匹配的个数至少是dp[i][j - 1]。除此之外，当S[j]和T[i]相等时，我们可以让S[j]和T[i]匹配，然后让S[j - 1]和T[i - 1]去匹配（T[0-(i-1)]在S[0-(j-1)]出现的次数*(T[i]==S[j])=1)
所以递推关系为：

dp[0][0] = 1; // T和S都是空串.

dp[0][1 ... S.length() - 1] = 1; // T是空串，S只有一种子序列匹配。

dp[1 ... T.length() - 1][0] = 0; // S是空串，T不是空串，S没有子序列匹配。

dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0).1 <= i <= T.length(), 1 <= j <= S.length()

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        if(S.empty()||T.empty()) return 0;
        if(S.length()<T.length()) return 0;
        int dp[T.length()+1][S.length()+1];
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=T.length();i++){
            dp[i][0]=0;
        }
        for(int j=1;j<=S.length();j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        for(int i=1;i<=T.length();i++){
            for(int j=1;j<=S.length();j++){
                dp[i][j]=dp[i][j-1];
                if(T[i-1]==S[j-1])
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[T.length()][S.length()];
    }
};