特殊矩阵的压缩

对称矩阵

• 定义：即A^T=A , a_i,j=a_j,i(i!=j)
• 压缩办法：因为上三角和下三角对应元素值相同，所以只需要存储下三角部分（含对角线）的元素(一共n(n+1)/2个)
• 存储数据结构：一维数组，设为B[n(n+1)/2]
• 元素a_i,j在B中的下标:k=1+2+……+(i-1)+j-1=i(i-1)/2+j-1(i>=j的情况) k=j(j-1)/2+i-1(i<j的情况)

三角矩阵

• 定义：下三角矩阵（上三角区域全是同一常量的元素）即a_i,j=C(i<j),上三角矩阵(上三角区域全是同一常量的元素)即a_i,j=C(i>j)
• 压缩办法:以下三角为例，从上到下、从左到右的存储元素，最后一个单位空间存储上三角区域的常量值
• 存储数据结构：一维数组，设为B[n(n+1)/2+1]
• 元素a_i,j在B中的下标(下三角):k=i(i-1)/2+j-1(i>=j)与对称矩阵相同，k=(1+n)n/2(i<j)(上三角区域的唯一值)
• 元素a_i,j在B中的下标(上三角):k=n+(n-1)+……+(n-i+2)+(j-i+1)-1=(2n-i+2)(i-1)/2+j-i(i<=j) , k=(n+1)n/2(i>j)

三对角矩阵

• 定义：即a_i,j=0(|i-j|>1),即所有非零元素都集中在中心的三条对角线上。
• 压缩办法：只存储中间三条对角线的元素
• 存储数据结构：一维数组，设为B[3n-2]
• 元素a_i,j在B中的下标:k=(i-2)*3+2+2+(j-i)-1=2i+j-3.(这里画下划线部分是第1行到第i-1行的元素个数，+2定位到第i行的中间元素，毕竟除了第1和第n行，每行都只有三个元素，然后j-i决定出是左边右边还是中间的元素，最后减一因为坐标从0开始。)

稀疏矩阵

• 定义：说白了就是建立一个索引，将非零元素及其所在的行和列一起构成一个三元组（行标，列标，值）,如此一来就失去了随机存储特性。
• 存储方式：数组存储或十字链表法