学习记录 4.0 搜索_递归

递归简介

目的：将大问题化成小问题 通过多次求解小问题来实现大问题

概念：自己调用自己 函数的调用过程是栈的结构

特点：时间成本较大（对于卡时不严格的题可以直接递归暴搜而不dp）但空间成本小（由于函数调用完成后就被释放，故实际内存取决于最大栈深）

实现：一般递归过程靠函数实现，分为参数设计，边界条件，状态枚举三大方面。参数能直接体现递归思路，所以参数设计是关键的第一步。边界条件一般写在递归主体前面，注意不只是一般的参数边界要考虑，还要考虑特判。递归可以简单的分为两种，可以解析解的和不可解析解的，可以解析解的只需要模拟数学过程即可，而不可解析解的一般考虑将状态全部枚举然后分治，我们且将其称为枚举递归。因此状态枚举是有重要意义的，而枚举时应该注意：如果在某一大状态下分很多个小情况，而每个小情况都要对大情况中的原始数据进行修改，那么就需要状态复原[实例2]。

优化：优化的目的是减少耗时。可以从两个角度出发：1.减少某一种情况的重复，对应记忆化。（注意记忆化是在不同情况有大量重复的基础上的，不重复则无法优化，如实例2）2.减少整个搜索树的规模（深度和宽度），对应预处理（深度）和剪枝（宽度）。

具体情况具体分析，不展开说。

实例分析

实例1 gcd求最大公约数

int gcd(int n,int m)//n是被除数，m是除数，默认m<n
{
    if(m==0) return n;
    return gcd(m, n%m);
}

实例2 全排列

void Perm(int a[], int k, int m)//在数组a中，产生从元素a[k]到a[m]的全排列
{
	//构成了一次全排列，输出结果
	if(k==m)
	{
		for(int i=0;i<=m;i++)
			cout<<a[i]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	else
		for(int j=k;j<=m;j++)
		{
			swap(a[k],a[j]);//互换两个元素
			Perm(a,k+1,m);
			swap(a[k],a[j]);//状态复原
		}
}

实例3 半数集

给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。

(1) n属于 set(n)；

(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；

(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。

例如，set(6)={6，16，26，126，36，136}。

半数集set(6)中有6个元素。

注意半数集是多重集。

对于给定的自然数n，编程计算半数集set(n)中的元素个数。

int a[1001];
int comp(int n)
{
	int ans=1;
	if(a[n]>0) return a[n];		//已经计算
	for(int i=1;i<=n/2;i++)
		ans+=comp(i);
	a[n]=ans;				//记忆化
	return ans;
}

实例4 整数因子分解

输入

数据有多行，给出正整数n
（1≤n≤2000000000）。

输出

每个数据输出1行，是正整数n的不同的分解式数量。

int total;				//定义为全局变量
void solve(int n) 
{
	if (n==1) total++;		//获得一个分解
	else 
	for (int i=2; i<=n; i++)//这里实际上可以预处理一下，直接从小到大遍历1和原数的所有素因子
		if (n%i==0) solve(n/i);
}