图论算法总结（三）

最新推荐文章于 2022-02-21 14:56:51 发布

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本文介绍了三种最短路径算法。Floyed - Warshall算法时间复杂度为O(N3)，可求出任两点间最短路；Dijkstra算法时间复杂度为O(N2)，不能处理负边权；Bellman - Ford算法时间复杂度为O(NE)。强调理解算法思路并学以致用，选用最短时间的算法。

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最短路径算法
一）Floyed-Warshall算法时间：O(N3)
初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。
　如果不相连则dis[u][v]=0x7fffffff
For (k = 1; k <= n; k++)
For (i = 1; i <= n; i++)
For (j = 1; j <= n; j++)
If (dis[i][j] >dis[i][k] + dis[k][j])
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
算法结束：dis[i][j]得出的就是从i到j的最短路径。
用Floyed求出任两点间的最短路，然后求出每个点到所有可达的点的最大距离，记做mdis[i]。（Floyed算法）
r1=max(mdis[i])
　然后枚举不连通的两点i,j，把他们连通，则新的直径是mdis[i]+mdis[j]+(i,j)间的距离。
　 r2=min(mdis[i]+mdis[j]+dis[i,j])
　 re=max(r1,r2)
　 re就是所求。
二）Dijkstra算法时间：O (N2)
ps::不能处理存在负边权
初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=0;
For (i = 1; i <= n ; i++)
1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。
2.u标记为已确定最短路径
3.For 与u相连的每个未确定最短路径的顶点v
if (dis[u]+w[u][v] < dis[v])
{
dis[v] = dis[u] + w[u][v];
pre[v] = u;
}
三）Bellman-Ford算法时间：O(NE)
O(NE)，N是顶点数，E是边数。
设s为起点，dis[v]即为s到v的最短距离，pre[v]为v前驱。w[j]是边j的长度，且j连接u、v。
初始化：dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），pre[s]=0
For (i = 1; i <= n-1; i++)
For (j = 1; j <= E; j++) //注意要枚举所有边，不能枚举点。
if (dis[u]+w[j]<dis[v]) 　 //u、v分别是这条边连接的两个点。
{
dis[v] =dis[u] + w[j];
pre[v] = u;
}