最长上升子序列 (LIS) ----O（n²） DP解法

最新推荐文章于 2023-10-30 16:06:05 发布

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本文详细解析了最长上升子序列（LIS）的概念及其求解方法，通过实例讲解了如何利用动态规划算法来找到序列中最长的单调递增子序列，并提供了完整的代码实现。

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最长上升子序列 (LIS)

定义：最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。
首先要区分子序列与子串的区别：简单来说，子串是连续的一段，而子序列是可以不连续的。
为方便理解，列举一组数据进行说明：2 7 1 5 6 4 3 8 9
列出一个数组dp[ 9 ]存储他们的状态。
dp[i]的含义为：在选第i个的前提下，从1到i能构成的最长上升子序列。

对列举的数据进行说明：
dp[1] :直接定义为1 ，对于一个数其最长上升子序列就是其本身，只有其本身一个数，故dp[1]=1。
dp[2]: 第二个数前有一个数，其为2，而又因为2比7小，故dp[2]=dp[1]+1.
dp[3]: 第三个数钱有两个数，其为7，1，因为这两个数都比第三个数1大，故无法让前两个数与第三个数构成上升子序列，故dp[3]=1.
dp[4]: 第四个数前有三个数，为2 7 1，因为第四个数为5，那么从第一个数开始看起，第一个数为2 ，2<5，可以与第四个数5构成，dp[4]=dp[1]+1=2,可是这里并不能保证dp[5]是最大的。故再来看第二个数7>5,不符合。下一个数1，1<5，符合，dp[4]=dp[3]+1=2。故dp[4]最大为2。
dp[5] dp[6] dp[7]…也是同样的推理方法。
板子代码：

// An highlighted block
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 103,INF=0x7f7f7f7f;
int a[maxn],f[maxn];
int n,ans=-INF;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i]=1;//全部初始化为1的好处是在下面嵌套循环中若无满足条件的情况出现，
        //不用在重新赋值1了,直接在这里先预处理。
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}