最长上升子序列 (LIS)
定义:最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence,LIS),在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。
首先要区分子序列与子串的区别:简单来说,子串是连续的一段,而子序列是可以不连续的。
为方便理解,列举一组数据进行说明:2 7 1 5 6 4 3 8 9
列出一个数组dp[ 9 ]存储他们的状态。
dp[i]的含义为:在选第i个的前提下,从1到i能构成的最长上升子序列。
对列举的数据进行说明:
dp[1] :直接定义为1 ,对于一个数其最长上升子序列就是其本身,只有其本身一个数,故dp[1]=1。
dp[2]: 第二个数前有一个数,其为2,而又因为2比7小,故dp[2]=dp[1]+1.
dp[3]: 第三个数钱有两个数,其为7,1,因为这两个数都比第三个数1大,故无法让前两个数与第三个数构成上升子序列,故dp[3]=1.
dp[4]: 第四个数前有三个数,为2 7 1,因为第四个数为5,那么从第一个数开始看起,第一个数为2 ,2<5,可以与第四个数5构成,dp[4]=dp[1]+1=2,可是这里并不能保证dp[5]是最大的。故再来看第二个数7>5,不符合。下一个数1,1<5,符合,dp[4]=dp[3]+1=2。故dp[4]最大为2。
dp[5] dp[6] dp[7]…也是同样的推理方法。
板子代码:
// An highlighted block
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 103,INF=0x7f7f7f7f;
int a[maxn],f[maxn];
int n,ans=-INF;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
f[i]=1;//全部初始化为1的好处是在下面嵌套循环中若无满足条件的情况出现,
//不用在重新赋值1了,直接在这里先预处理。
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans,f[i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}