关于无穷级数收敛的充要条件的猜想

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博客提出关于无穷级数收敛充要条件的猜想，即∫1+∞f(x)=c（c为常数）。其灵感源于积分判别法和数列收敛基本性质。介绍了积分判别法定义，指出级数敛散性取决于a→+∞limF(a)是否存在，还说明确定N使f(x)满足条件时仍可用积分判别法判断敛散性。

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关于无穷级数收敛的充要条件的猜想：
$∫1+∞f(x)=c(c为常数)\int_1^{+\infty}f(x)=c \quad (c为常数)$
灵感：

1. 积分判别法（正项级数）
2. 数列收敛的基本性质（数列级数的前N项与数列级数的敛散性无关）

一、积分判别法的定义：若单调递减的函数f(x)在[1,+ $∞\infty$ )上非负，则级数 $∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ 与反常积分 $∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx$ 具有相同的敛散性。
同理，若单调递增的函数f(x)在[1,+ $∞\infty$ )上非正，则级数 $∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ 与反常积分 $∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx$ 具有相同的敛散性。
根据微积分基本定理， $∫1+∞f(x)=lim⁡a→+∞F(a)−F(1)\int_1^{+\infty}f(x)={\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)-F(1)$
故级数 $∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ 的敛散性取决于 $lim⁡a→+∞F(a){\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)$ 是否收敛，即 $lim⁡a→+∞F(a){\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)$ 是否存在。
设 $lim⁡a→+∞F(a)=b{\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)=b$ , 则 $∫1+∞f(x)=lim⁡a→+∞F(a)−F(1)=b−F(1)=c\int_1^{+\infty}f(x)={\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)-F(1)= b-F(1)=c\quad$ (其中，c为常数)

二、 $∫1+∞f(x)=∫1Nf(x)dx+∫N+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)=\int_1^N{f(x)dx}+\int_N^{+\infty}f(x)dx$ ,若确定一个N，使得f(x)在 $[N,+∞)[N,{+\infty})$ 上为非负单调递减函数（或为非正单调递增函数），则仍可以使用积分判别法判断级数 $∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ 的敛散性。