第十届蓝桥杯 2019年省赛真题 (Java 大学A组)

已于 2022-04-08 09:11:52 修改
阅读量2.5k 收藏 11
点赞数 3
文章标签： 蓝桥杯 Java
于 2022-04-05 19:51:52 首次发布
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43449564/article/details/123972910
版权
这篇博客介绍了编程竞赛中的一些数学问题，如平方和、数列求值、迷宫路径、最大降雨量计算、完全二叉树的权值、避免重复元素的策略以及组合数的计算。博主通过实例展示了如何运用数学思维和算法解决这些问题，包括使用矩阵加速、树状数组、并查集和卢卡斯定理等技巧。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

蓝桥杯 2019年省赛真题（Java 大学 A 组 ）

  打发时间。

#A 平方和

本题总分： 5 5 5 分

问题描述

  小明对数位中含有 2 、 0 、 1 、 9 2、0、1、9 2、0、1、9 的数字很感兴趣，在 1 1 1 到 40 40 40 中这样的数包括 1 、 2 、 9 、 10 1、2、9、10 1、2、9、10 至 32 、 39 32、39 32、39 和 40 40 40，共 28 28 28 个，他们的和是 574 574 574，平方和是 14362 14362 14362。

  注意，平方和是指将每个数分别平方后求和。

  请问，在 1 1 1 到 2019 2019 2019 中，所有这样的数的平方和是多少？

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

2658417853

public class Test {
   
	
    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }
    
    int N = 2019;
    
    long ans;
    
    void run() {
   
    	for (int i = 1; i <= N; ++i)
    		if (check(i)) ans += i * i;
    	System.out.println(ans);
    }
    
    boolean check(int n) {
   
    	while (n > 0)
    		switch (n % 10) {
   
    			case 2:
    			case 0:
    			case 1:
    			case 9: return true;
    			default: n /= 10;
    		}
    	return false;
    }
}

  容易注意到 900 900 900 至 2019 2019 2019 都是小明感兴趣的数字，简单使用数列求和公式估值后，使用 i n t \mathrm{int} int 显然会溢出，因此改用长整形。

  再没啥好说的。

#B 数列求值

本题总分： 5 5 5 分

问题描述

  给定数列 1 , 1 , 1 , 3 , 5 , 9 , 17 , ⋯ 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, \cdots 1,1,1,3,5,9,17,⋯，从第 4 4 4 项开始，每项都是前 3 3 3 项的和。求第 20190324 20190324 20190324 项的最后 4 4 4 位数字。

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

4659

朴素解法 

public class Test {
   
	
    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }
    
    int N = 20190324;
    
    void run() {
   
    	int[] arr = new int[N + 1];
    	arr[1] = arr[2] = arr[3] = 1;
    	for (int i = 4; i <= N; i++)
    		arr[i] = (arr[i - 1] + arr[i - 2] + arr[i - 3]) % 10000;
    	System.out.printf("%04d", arr[N]);
    }
}

  对 10000 10000 10000 取余，保证不会溢出就行。

矩阵加速

public class Test {
   
	
    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }
    
    int N = 20190324 - 3;
    
    void run() {
   
    	int[][] C = {
   {
   1, 0, 0}, {
   0, 1, 0}, {
   0, 0, 1}};
    	int[][] A = {
   {
   1, 1, 0}, {
   1, 0, 1}, {
   1, 0, 0}};
    	while (N > 0) {
   
    		if ((N & 1) == 1)
    			C = multi(C, A);
    		A = multi(A, A);
    		N >>= 1;
    	}
    	System.out.printf("%04d", (C[0][0] + C[1][0] + C[2][0]) % 10000);
    }
    
    int[][] multi(int[][] A, int[][] B) {
   
    	int[][] C = new int[3][3];
    	for (int i = 0; i < 3; ++i)
			for (int j = 0; j < 3; ++j)
				for (int k = 0; k < 3; ++k)
					C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % 10000;
    	return C;
    }
}

  观察到数列递推式，单维且封闭，

  于是考虑矩阵加速，

  也没啥好说的。

#C 迷宫

本题总分： 10 10 10 分

问题描述

  下图给出了一个迷宫的平面图，其中标记为 1 1 1 的为障碍，标记为 0 0 0 的为可以通行的地方。

010000
000100
001001
110000

  迷宫的入口为左上角，出口为右下角，在迷宫中，只能从一个位置走到这个它的上、下、左、右四个方向之一。
  对于上面的迷宫，从入口开始，可以按 D R R U R R D D D R \mathrm{DRRURRDDDR} DRRURRDDDR 的顺序通过迷宫，一共 10 10 10 步。其中 D \mathrm D D、 U \mathrm U U、 L \mathrm L L、 R \mathrm R R 分别表示向下、向上、向左、向右走。
  对于下面这个更复杂的迷宫（ 30 30 30 行 50 50 50 列），请找出一种通过迷宫的方式，其使用的步数最少，在步数最少的前提下，请找出字典序最小的一个作为答案。
  请注意在字典序中 D < L < R < U \mathrm{D<L<R<U} D<L<R<U。（如果你把以下文字复制到文本文件中，请务必检查复制的内容是否与文档中的一致。在试题目录下有一个文件 maze.txt，内容与下面的文本相同）

01010101001011001001010110010110100100001000101010
00001000100000101010010000100000001001100110100101
01111011010010001000001101001011100011000000010000
01000000001010100011010000101000001010101011001011
00011111000000101000010010100010100000101100000000
11001000110101000010101100011010011010101011110111
00011011010101001001001010000001000101001110000000
10100000101000100110101010111110011000010000111010
00111000001010100001100010000001000101001100001001
11000110100001110010001001010101010101010001101000
00010000100100000101001010101110100010101010000101
11100100101001001000010000010101010100100100010100
00000010000000101011001111010001100000101010100011
10101010011100001000011000010110011110110100001000
10101010100001101010100101000010100000111011101001
10000000101100010000101100101101001011100000000100
10101001000000010100100001000100000100011110101001
00101001010101101001010100011010101101110000110101
11001010000100001100000010100101000001000111000010
00001000110000110101101000000100101001001000011101
10100101000101000000001110110010110101101010100001
00101000010000110101010000100010001001000100010101
10100001000110010001000010101001010101011111010010
00000100101000000110010100101001000001000000000010
11010000001001110111001001000011101001011011101000
00000110100010001000100000001000011101000000110011
10101000101000100010001111100010101001010000001000
10000010100101001010110000000100101010001011101000
00111100001000010000000110111000000001000000001011
10000001100111010111010001000110111010101101111000

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

DDDDRRURRRRRRDRRRRDDDLDDRDDDDDDDDDDDDRDDRRRURRUURRDDDDRDRRRRRRDRRURRDDDRRRRUURUUUUUUULULLUUUURRRRUULLLUUUULLUUULUURRURRURURRRDDRRRRRDDRRDDLLLDDRRDDRDDLDDDLLDDLLLDLDDDLDDRRRRRRRRRDDDDDDRR

BFS

  由于答案要求在最优解中字典序最小，因此采用从终点出发，向起点做 b f s \mathrm{bfs} bfs 最短路径，

  这样从起点推出来的路径必然是可达的。

import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Scanner;
import java.util.Deque;
import java.util.Queue;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
     new Test().run(); }

    int[][] offset = {
   {
   1, 0}, {
   0, -1}, {
   0, 1}, {
   -1, 0}};

    char[] character = {
    'D', 'L', 'R', 'U' };

    int N = 30, M = 50;

    void run() {
   
        try(Scanner in = new Scanner(new FileInputStream("maze.txt"))) {
   
            int[][] visited = new int[N + 1][M + 1];
            for (int i = 1; i <= N; ++i) {
   
                String line = in.nextLine();
                for (int j  = 1; j <= M; ++j)
                    if (line.charAt(j - 1) == '1') visited[i][j] = 0x3F3F3F3F;
            }
            Deque<Long> queue = new ArrayDeque();
            queue.offer(makePair(N, M));
            visited[N][M] = 1;
            while (true) {
   
                int x = X(queue.peek());
                int y = Y(queue.peek());
                if (x == 1 && y == 1) break;
                queue.poll();
                for (int i = 0; i < 4; ++i) {
   
                    int k = x + offset[i][0];
                    int g = y + offset[i][1];
                    if (k >= 1 && k <= N && g >= 1 && g <= M && visited[k][g] == 0) {
   
                        visited[k][g] = visited[x][y] + 1;
                        queue.offer(makePair(k, g));
                    }
                }
            }
            int x = 1, y = 1;
            while (visited[x][y] > 1)
                for (int i = 0; i < 4; ++i) {
   
                    int k = x + offset[i][0];
                    int g = y + offset[i][1];
                    if (k >= 1 && k <= N && g >= 1 && g <= M && visited[k][g] == visited[x][y] - 1) {
   
                        System.out.print(character[i]);
                        x = k;
                        y = g;
                        break;
                    }
                }
        } catch (FileNotFoundException e) {
   
            e.printStackTrace();
        }
    }

    long makePair(int x, int y) {
    return (long)x << 32 | y; }

    int X(long pair) {
    return (int)(pair >> 32); }

    int Y(long pair) {
    return (int)(pair & 0xFFFFFFFF); }
}

#D 最大降雨量

本题总分： 10 10 10 分

问题描述

  由于沙之国长年干旱，法师小明准备施展自己的一个神秘法术来求雨。
  这个法术需要用到他手中的 49 49 49 张法术符，上面分别写着 1 1 1 至 49 49 49 这 49 49 49 个 数字。法术一共持续 7 7 7 周，每天小明都要使用一张法术符，法术符不能重复使用。
  每周，小明施展法术产生的能量为这周 7 7 7 张法术符上数字的中位数。法术施展完 7 7 7 周后，求雨将获得成功，降雨量为 7 7 7 周能量的中位数。
  由于干旱太久，小明希望这次求雨的降雨量尽可能大，请大最大值是多少？

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

34

System.out.print(7 * 7 - 4 * 4 + 1);

  七个大小为七的集合的中位数的中位数，这 7 × 7 7×7 7×7 个数中至少有 4 × 4 4 × 4 4×4 个数不小于它，如图所示：

在这里插入图片描述
  剩下的 7 × 7 − 4 × 4 7×7-4×4 7×7−4×4 个数随便排就行了。

  不是很理解这种和编程毫无关系的题，

  出出来干嘛。

#E RSA 解密

本题总分： 15 15 15 分

问题描述

   R S A \mathrm{RSA} RSA 是一种经典的加密算法。它的基本加密过程如下。
  首先生成两个质数 p , q p, q p,q，令 n = p ⋅ q n = p\cdot q n=p⋅q，设 d d d 与 ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) (p − 1) \cdot (q − 1) (p−1)⋅(q−1) 互质，则可找到 e e e 使得 d ⋅ e d\cdot e d⋅e 除 ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) (p − 1)\cdot (q − 1) (p−1)⋅(q−1) 的余数为 1 1 1。
   n , d , e n, d, e n,d,e组成了私钥， n , d n, d n,d 组成了公钥。
  当使用公钥加密一个整数 X X X 时（小于 n n n），计算 C = X d m o d      n C = X^d\mod\ n C=Xdmod n，则 C C C 是加密后的密文。
  当收到密文 C C C 时，可使用私钥解开，计算公式为 X = C e   m o d   n X = C^e\ mod\ n X=Ce mod n。
  例如，当 p = 5 , q = 11 , d = 3 p = 5, q = 11, d = 3 p=5,q=11,d=3 时， n = 55 , e = 27 n = 55, e = 27 n=55,e=27。
  若加密数字 24 24 24，得 2 4 3   m o d   55 = 19 24^3\ mod\ 55 = 19 243 mod 55=19。
  解密数字 19 19 19，得 1 9 27   m o d   55 = 24 19^{27}\ mod\ 55 = 24 1927 mod 55=24。
  现在你知道公钥中 n = 1001733993063167141 , d = 212353 n = 1001733993063167141, d = 212353 n=1001733993063167141,d=212353，同时你截获了别人发送的密文 C = 20190324 C = 20190324 C=20190324，请问，原文是多少？

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

Pollard’s Rho

  稍微对 R S A \mathrm{RSA} RSA 有过一点了解的人，都知道，它的破解难度可以说与大数分解等价，但是否真的等同于大数分解也未有人证明，

  所以这里不推荐任何读者去尝试使用分解 n n n 以外的方法去解决改题。

  考虑朴素的除试法，但 O ( n ) O(\sqrt n) O(n ​) 的复杂度显然不是为我们所能接受的，但实际上 10s 就分解完了 。

  于是考虑用 Pollard‘s Rho 分解 n n n，得到 p p p、 q q q。

  观察到蓝桥出题人铁文盲，除和除以分不清楚，有 d ⋅ e ≡ 1 ( m o d ( p − 1 ) ( q − 1 ) ) d\cdot e \equiv 1 \pmod{(p-1)(q-1)} d⋅e≡1(mod(p−1)(q−1))，即 e e e 是 d d d 模 ( p − 1 ) ( q − 1 ) (p-1)(q-1) (p−1)(q−1) 下的乘法逆元。

   e x g c d \mathrm{exgcd} exgcd 求出逆元后直接快速幂就行。

public class Test {
   

	public static void main(String[] args
最低0.47元/天 解锁文章
肖有量
关注
评论 4
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值