【树状数组】【归并排序】逆序对

逆序对的定义

在一个序列中，若存在i < j，a[i] > a[j]，那么a[i] 和 a[j]就是一对逆序对

归并排序求逆序对

归并排序简单来说就是每次把序列二分，然后合并两个有序序列

在合并两个有序序列的过程中，可以用两个指针i，j分别对两个序列进行扫描，每次将a[i] a[j]中较小的那一个放到临时数组中

若a[j] < a[i]，因为两个序列都是有序序列，那么a[i]后面的所有数字都要比a[j]大

也就是说a[i]后面的每个数字都可以和a[j]构成逆序对，所以将a[i]后面的数字数量加入答案

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[30010];
int b[30010];
int cnt;
 
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
    return x * f;
}
 
void merge(int l, int r) {
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    int i = l, j = mid + 1;
    merge(l, mid);
    merge(mid + 1, r);
    for (int k = l; k <= r; k++) {
        if (j > r || i <= mid && a[i] < a[j]) b[k] = a[i++];
        else cnt += mid - i + 1, b[k] = a[j++];
    }
    for (int k = l; k <= r; k++) a[k] = b[k];
}
 
int main() {
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
    merge(1, n);
    printf("%d", cnt);
}

树状数组求逆序对

首先，我们可以进行一下离散化。

离散化简单来说就是用一个结构体存下序列的值和对应的编号，然后按序列值升序排序，取出编号代替序列值进行计算。

当然，使用离散化求逆序对有些浪费了。

我们可以用cnt[val]表示val在集合a中出现的次数，然后用一个树状数组维护前缀和。

主要流程：

倒序扫描给定序列；

    对于序列中的每个数查询前缀和累加，cnt[a[i]]++然后维护前缀和。

输出ans；

代码（离散化）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node {
    int id, a;
} e[30010];
 
int n;
int ans;
int tree[30010];
 
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
    return x * f;
}
 
int ask(int x) {
    int sum = 0;
    for (; x; x -= (x & -x)) sum += tree[x];
    return sum;
}
 
bool cmp(node a, node b) {
    return a.a < b.a;
}
 
void add(int x, int y) {
    for (; x <= 30000; x += (x & -x)) tree[x] += y;
}
 
int main() {
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        e[i].a = read();
        e[i].id = i;
    }
    sort(e + 1, e + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        add(e[i].id, 1);
        ans += (i - ask(e[i].id));
    }
    printf("%d", ans);
}

代码（无离散化）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n;
int a[31010];
int tree[31010];
int ans;
 
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
    return x * f;
}
 
int ask(int x) {
    int sum = 0;
    for (; x; x -= (x & -x)) sum += tree[x];
    return sum;
}
 
void add(int x, int y) {
    for (; x <= 30009; x += (x & -x)) tree[x] += y;
}
 
int main() {
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        ans += ask(a[i] - 1);
        add(a[i], 1);
    }
    printf("%d", ans);
}