二分专题

1.从有序数组中查找某个值

2.

例题：Cable master

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MA=10005;
const double eps = 1e-7;
const double INF=200005.0;
double L[MA];
int n,k;
bool check(double x)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ans+=(int)(L[i]/x);
    }
    return ans>=k;
}
void solve()
{
    double l=0,r=INF;
    for(int i=0;i<100;++i){//代替while（）避免精度问题，区间每次减小一半
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.2f\n",(floor)(r*100)/100);
}
int main()
{
    while(cin>>n>>k){
     for(int i=1;i<=n;++i){
         cin>>L[i];
     }
     solve();
    }
    return 0;
}

3.POJ 3111 K Best ( 保留宝石 ) 最大化平均值问题

这道题与《挑战程序设计竞赛》中的例题很像。如果用贪心做会发现出错。
所以转化一下条件，用二分去做。二分最优解，利用相关条件去判断 mid 是不是最优解。
这道题的条件

题意：
有 n 个物品的重量和价值分别为 w[ i ] 和 v [ i ] 。从中选出 k 个物品是单位价值重量最大。
1<=k<=n<=1e4
1<=wi,vi<=1e6

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MA=1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,k;
int v[MA],w[MA];
struct pp
{
    double vv;
    int id;
}y[MA];

bool cmp(const pp &p,const pp &q)
{
    return p.vv<q.vv;
}

bool check(double x)
{
   for(int i=0;i<n;++i){
    y[i].vv=v[i]-x*w[i];
    y[i].id=i;
   }
   sort(y,y+n,cmp);
   double sum=0;
   for(int i=0;i<k;++i){
     sum+=y[n-i-1].vv;
   }
   return sum>=0;
}
void solve()
{
   double l=0,r=INF;
   for(int i=0;i<100;++i){
    double mid=(l+r)/2;
    if(check(mid)) l=mid;
    else r=mid;
   }
   //cout<<r<<endl;
   cout<<y[n-1].id+1;
   for(int i=1;i<k;++i)
    cout<<" "<<y[n-i-1].id+1;
   cout<<endl;
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;++i){
      cin>>v[i]>>w[i];
    }
    solve();
    return 0;
}

POJ3273 Monthly Expense

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MA=1e5+10;
int n,m,sum,maxn=0;
int a[MA];

int check(int x)
{
  int t=0;
  sum=0;
  for(int i=0;i<n;++i){
    if(sum+a[i]<=x){
        sum+=a[i];
        //cout<<"sum="<<sum<<endl;
    }
    else{
        t++;
        sum=a[i];
        //cout<<"##sum=0 "<<"t="<<t<<endl;
    }
  }
  //cout<<"t= "<<t<<endl;
  return t>=m;
}
void solve()
{
   int l=maxn,r=sum;
   while(l<=r){
    int mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid)) l=mid+1;
    else r=mid-1;
   // cout<<l<<" "<<r<<endl;
   }
   cout<<l<<endl;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;++i){
        cin>>a[i];
        maxn=max(maxn,a[i]);
        sum+=a[i];
    }
    sort(a,a+n);
    solve();
    return 0;
}

POJ 3104 Drying (烘干衣服)

这道题和前面的题基本一样，但这道题有一个很不错的思路，就是假设 mid 为最优解。这样就可以分别考虑大于或小于最优解时衣服如何处理，这样就知道每一个衣服处理的最短时间。也就可以用计算出来的最短时间和假设的 最优解 mid 作比较。

1. a [ i ] > mid 时 , 一个衣服干所需最短时间为 ( a[ i ] - mid + k - 2 ) / (k - 1).
2. 向上取整 a+b=(a+b-1)/b2.向上取整 a+b=(a+b-1)/b

POJ 3685 Matrix

这道题在二分专题里，开始考虑二分，但我的想法仍然向前面的题一样，二分结果，然后如何判断解的可行性（我想的是遍历所有值来判断 mid ）。但这样会超时。

过程：

1. 二分结果，用全矩阵所有比 mid 小的值的个数与 m 的大小比较来靠近结果。
2. 比较 mid 和 m 的大小： 遍历每一列，二分行结果 >= mid 来靠近行结果刚好比 mid 小的那一行 ，要说明一下，第 i 行 第 j 列的结果 = ii +100000i + jj - 100000j + i*j。所以 j 不变，i 越大，结果越大。所以 left 可以代表这一列比 mid 大的值的个数。
3. 用 cnt 保存全图比 mid 大的值的个数，就是在每一次二分结果后，令 cnt+=left;
4. 比较 cnt 与 mid 的大小实现 过程 1。

问题：

1.为什么有的二分结果是 left ，有的是 right ？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<string>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=50000;
int a[N];
ll n,m;
ll cal(ll i,ll j){
    return i*i+100000*i+j*j-100000*j+i*j;
}//计算
bool ok(ll x){//判断
    ll cnt=0;//保存小于全图 x 的数量。
    for(ll j=1;j<=n;j++){
        ll left=0,right=n+1;//二分行
        while(left<right-1){
            ll mid=(left+right)/2;
            if(cal(mid,j)<=x)left=mid;
            else right=mid;
        }
        cnt+=left;//left 以下全为小于或等于 x的值（也就是说 left 为这一列（就是 j 列）小于 x 的值的个数）
    }
    return cnt>=m;//m为要求的第m小的值，二分到最后，
                  //cnt 保存小于全图 x 的数量。
}
 
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll right=1e12,left=-1e12;//二分结果
        while(left<right-1){//枚举第m大元素的值
            ll mid=(left+right)/2;
            if(ok(mid))right=mid;
            else left=mid;
        }
        printf("%lld\n",right);
    }
}

一些二分技巧

1. r-l>1 左开右闭区间