[BZOJ2655][拉格朗日插值]calc

最新推荐文章于 2021-05-02 18:40:06 发布

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本文介绍了解决BZOJ2655问题的一种算法思路，通过动态规划计算特定序列，并利用拉格朗日插值法处理大数问题。面对1e9级别的数值，采用前缀和思想，将动态规划的最高次项限制在2n，进而通过计算2n+1项进行拉格朗日插值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

BZOJ2655

考虑dp的话是 $f [i] [j] = i * f [i - 1] [j - 1] + f [i - 1] [j]$ 分别表示选当前这个数和不选
然而 $i$ 很大，有1e9
发现每次转移乘上的是一个 $i$ ，且 $j + 1$ ，类似一个前缀和，所以 $i$ 的最高次项为 $2 n$
则dp出 $2 n + 1$ 项做拉格朗日插值就完了

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int rlen=1<<21|1;
inline char gc(){
	static char ibuf[rlen],*ib,*ob;
	(ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,rlen,stdin));
	return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
	int res=0,f=1;char ch=gc();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f;ch=gc();}
	while(isdigit(ch)) {res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48);ch=gc();}
	return res*f;
}
int mod;
inline void file(){freopen("lx.in","r",stdin),freopen("lx.out","w",stdout);}

inline int add(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return x;}
inline int dec(int x,int y){x-=y;if(x<0) x+=mod;return x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}

inline void inc(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;}
inline void Dec(int &x,int y){x-=y;if(x<0) x+=mod;}
inline void Mul(int &x,int y){x=mul(x,y);}

inline int ksm(int a,int b){int res=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) res=mul(res,a);return res;}

const int N=1005;
int n,A;
int dp[N][N];
int fac[N];
inline void init(){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n*2;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n*2+1;i++){
		dp[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++) dp[i][j]=add(mul(i,dp[i-1][j-1]),dp[i-1][j]);
	}
}
inline int lagrange(){
	int m=n<<1;
	if(A<=m+1) return dp[A][n];
	int res=0;
	for(int i=1;i<=m+1;i++){
		int tmp=mul(mul(fac[i-1],fac[m-i+1]),dec(A,i));
		tmp=ksm(tmp,mod-2);if((m-i+1)&1) Mul(tmp,dec(0,1));
		Mul(tmp,dp[i][n]);inc(res,tmp);
	}
	for(int i=1;i<=m+1;i++) Mul(res,dec(A,i));
	return res;
}
int main(){
	A=read();n=read();mod=read();
	init();
	cout<<mul(fac[n],lagrange());
	return 0;
}