位运算及相关

最新推荐文章于 2025-03-31 10:01:37 发布

Aczy156

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分类专栏： ACM

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本文探讨了如何使用异或操作解决编程竞赛中的数组配对问题，包括找出唯一出现奇数次的数和寻找未配对的数。通过数组或映射存储，然后进行排序和遍历可能导致内存和时间效率低下。正确的策略是直接对所有数进行异或，最终剩余的数即为未匹配的数。此外，还介绍了如何找出出现偶数次数的数，以及线性基的概念及其在简化集合元素中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

获取唯一的奇数个的不匹配的数 & 找未配上的对

https://www.luogu.com.cn/problem/P1469 【注意：卡内存，卡时间】

思路一：数组存，然后排序，然后再遍历，两个两个遍历=> 爆内存，爆时间。
思路二：map存，找到配对的删除。一边即过。=> 6个点爆内存
正确思路：直接用一个变量，然后来异或^所有的数，a^a = 0，所以最后剩下的那个数就是没匹配的。

scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d", &t); ans ^= t;}
printf("%d\n", ans);

获取唯一的出现偶数次数的 & 找配上对的

这个需要先把所有存在的数都输入进去，得到所有数的异或，然后再异或数组种的所有数，那么出现偶数次的就会显露出来了，出现单次的就会和第一次的异或掉了。

scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d", &t);ans^=t;}
scanf("%d", &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {scanf("%d", &t);ans^=t;}

线性基

线性基理解
理解：
首先构造线性基就是把原集合通过异或变成一个新的集合。
原因：
构造原因是可以将原来集合元素很多的集合变成一个集合元素少的集合，但是这两个集合异或后的集合是一样的。
异或运算xor ^ 在线性基的应用：
由于偶数个异或之后等于零，然后任何数与零异或后是任何数，所以可以将集合中的任意两个数相互替换，（例如x y，将x y的任意一个替换成x ^ y，此时这个集合还是等效的，因为原来的x y 异或出三个数 x y x ^ y ，现在的x x ^ y 异或出的还是那三个数 x x ^ y y）这就是通过异或运算性质来替换原来集合中的元素。
[注意上边说的替换后的集合和原来集合等效是等效在他们都可以异或出相同的集合]

然后就是原集合s 和 s的所有元素异或出的后来的集合p 对p中的元素pi，每个元素都是s中的一个或多个元素异或而来的。

hdu3949模版题

//
//  main.cpp
//  线性基板题
//
//  Created by 陈冉飞 on 2019/8/2.
//  Copyright © 2019 陈冉飞. All rights reserved.
//

#include <iostream>
//#include <bits/stdc++.h>
#include <cstring>
typedef long long ll;
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

ll a[10010],base[64];     //a shi是用来储存原本所有的数，   base 是储存基的数组
int Case = 1;

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int T,total,qu_total;
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        cl(a, 0);
        cl(base, 0);
        scanf("%d",&total);
        for (int i = 0; i < total; i++) {
            scanf("%I64d",&a[i]);
        }
        //插入元素
        for (int i = 0; i < total; i ++) {
            for (int j = 62; j >=0; j--) {
                if ((a[i]>>j)&1) {
                    //如果这个位置上的base还是空的
                    if (!base[j]) {
                        base[j] = a[i];
                        break;
                    }else{
                        a[i] ^= base[j];
                    }
                }
            }
        }
//        for (int i = 62; i >= 0; i--) {
//            cout<<i<<"  "<<base[i]<<endl;
//        }
        //对刚才插入之后的重新排列一遍
        for (int i = 62; i >= 0; i--) {
            if (base[i]) {
                for (int j = i-1; j >= 0; j--) {
                    if ((base[i]>>j)&1) {
                        base[i]^=base[j];
                    }
                }
            }
        }
//        cout<<endl<<endl;
//        for (int i = 62; i >= 0; i--) {
//            cout<<i<<"  "<<base[i]<<endl;
//        }
        int m = 0;
        for (int i = 0; i <= 62 ; i ++) {
            if (base[i]) {
                base[m++] = base[i];
            }
        }
        printf("Case #%d:\n",Case++);
        scanf("%d",&qu_total);
        ll num;
        while (qu_total--) {
            scanf("%I64d",&num);
            //有重叠的，并没有一一对应
            if (m != total) {
                num--;
            }
            if (num>=(1ll<<m)) {
                cout<<"-1"<<endl;
            }else{
                ll ans = 0;
                for (int i = 0; i < m; i++) {
                    if ((num>>i)&1) {
                        ans ^= base[i];
                    }
                }
                printf("%I64d\n",ans);
//                cout<<ans<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}