阶乘后的零[挖掘规律+动态规划]

最新推荐文章于 2025-01-24 13:05:52 发布

ren9999999

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分类专栏：数据机构与算法文章标签：阶乘动态规划挖掘规律 go

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文章介绍了如何计算阶乘后零的个数，主要探讨了两种方法：一是通过动态规划寻找5的个数，二是直接计算不同5的倍数的个数。这两种方法都关注到因数5的数量，因为每个10都会贡献一个零。动态规划的方法是通过f[i]=f[i/5]+1递推得到结果，而直接寻找5的倍数则通过累加n除以5的商来获取5的质因数个数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

想要计算阶乘后的0有多少，可以直接算出阶乘值，再不断对10取余。但是如果n比较大，这种方法是根本行不通的，只能挖掘规律。

一、阶乘后的零

在这里插入图片描述

二、挖掘规律

1、动态规划

想要得到0，等价于得到10，再等价于得到2 * 5，而5的个数一定比2多，毕竟偶数太多。

所以有了5的个数，就有了2*5的个数，就有了10的个数，自然而然就得到0的个数。
如何寻找5的个数，当i % 5 == 0时，f[i] = f[i / 5] + 1

func trailingZeroes(n int) int {
    f := make([]int,n + 1)
    rs := 0
    for i := 1;i <= n;i++ {
        if i % 5 == 0 {
            f[i] = f[i / 5] + 1
            rs += f[i]
        }
    }
    return rs
}

2、直接寻找5的个数

[1,n]中一共有m₁个5的倍数，易知，m₁ = floor(n / 5)，还有25的倍数m₂ = floor(n / 25)，125的倍数m₃=floor(125)，这些5^k除去前面包含的5^k-1，还剩一个5。
所以[1,n]中有m = m₁ + m₂ + … + m_k个5的质因数。

func trailingZeroes(n int) int {
    rs := 0
    for n > 0 {
        rs += n / 5
        n /= 5
    }
    return rs
}

总结

1）挖掘题目规律，才能转换问题，简化问题，比如求5的质因数。而后序通过动态规划来求，还是继续找规律求，又是另一回事了。

参考资料

[1] LeetCode 阶乘后的零