虚反矩阵指令pinv之应用

pinv指令
在多数解的例子中，有时并不是仅要将其中一变数设定为零之解。为使整个系统得到最佳化，亦可利用pinv指令求得最小模组之合理解。pinv(A)又称为虚反矩阵(pseudoinverse)，其功能与反矩阵之计算相同，但它会基于svd(A)函数(或称奇异值分解函数)之计算方式，求得一个不是属于全阶之矩阵A之反矩阵。这是长方形矩阵求解时，在多重解中求其反矩阵之折衷方式。故若矩阵A为方矩阵或非零矩阵，则其结果应与inv(A)相同。只是在这样的状况，宁可使用inv(A)较为省事。处理这些长方矩阵或特异矩阵时，使用pinv(A)会有意想不到的效果。其解法是根据反矩阵法：

A=[3 2 1; 10 -25 5];

C=[5000 2000]’;

T=inv(A)*C

Error using inv

inv Matrix must be square.

T=pinv(A)*C

T =

1.0e+03 *

1.2039

0.4852

0.4180

上面之例因为A不是方形矩阵，故求其反矩阵时会有错误的信息，但若用虚反矩阵指令pinv，反而相安无事，这是将T1、T2以其馀一变数T3表示之情况下，求得其最小平方之组合。其结果是否合用则端视问题之限制与应用而定。 PINV(A,TOL) 之指令後面另有参数TOL，可以输入容许值。其预设值为MAX(SIZE(A)) * NORM(A) * EPS(class(A))，读者可参考手册之说明，以了解其使用方法。

inv与pinv的区别

对于非奇异且不接近奇异的方阵两个命令输出结果相同，但是对于接近奇异的矩阵使用两个命令结果却不同，

1.对于方阵A，如果为非奇异方阵，则存在逆矩阵inv(A)
2.对于奇异矩阵或者非方阵，并不存在逆矩阵，但可以使用pinv(A)求其伪逆

Matlab中的‘\ ’和‘/’和pinv的关系以及运算

当A是N阶方阵B为N行的列向量时，X=A\B就是线性方程组A*X=B的解，算法是用高斯消去法。A\EYE(SIZE(A))产生的是方阵A的逆矩阵。

如果A是MN的矩阵且M≠N，B是跟A行数(M行)相同的列向量时，X=A\B是非满秩的线性方程组AX=B的解系，A的秩K由QR分解得出。如果K<N通常结果与PINV(A)*B不等(PINV(A)是求A的广义逆矩阵)。 A\EYE(SIZE(A))得到的是A的广义逆矩阵。

总而言之，A\B就是求A*X=B的解，你可以看作是A的逆矩阵，只不过是广义逆矩阵，这样A不是方阵也可以计算的。

至于A/B，在解线性方程组上比\少用一些，因为通常都把B写成列向量，所以用反除\就可以了。用/的话，B通常是行向量。

可以把B/A看作是X*A=B的解，这里B的列数等于A的列数。

A\B=pinv(A)*B

A/B=A*pinv(B)

可见，’'用的是高斯消元法。