python数据分析与挖掘实战---拉格朗日插值法

最新推荐文章于 2024-03-18 14:00:28 发布

城南以东

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分类专栏： python数据分析与挖掘实战文章标签：数据分析 python 数据挖掘

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拉格朗日插值法

在这里插入图片描述

定义

对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：
在这里插入图片描述
其中Xj对应着自变量的位置，而Yj对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
${\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}L(x):=\sum _{{j=0}}^{{k}}y_{j}\ell _{j}(x)$

其中每个

为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

拉格朗日基本多项式在这里插入图片描述
的特点是在Xj上取值为1，在其它的点Xi，i≠j上取值为0。

范例

假设有某个二次多项式函数{\displaystyle f}f，已知它在三个点上的取值为：
在这里插入图片描述
要求 f(18) 的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：
$\ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}}\ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}{\displaystyle \ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}}\ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}{\displaystyle \ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}}\ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}$
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到{\displaystyle p}p的表达式（{\displaystyle p}p为函数{\displaystyle f}f的插值函数）：

${\displaystyle p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)}p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x){\displaystyle .,,,,,,,,,,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}}.,,,,,,,,,,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}{\displaystyle .,,,,,,,,,,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)}.,,,,,,,,,,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)$