HDU 4427 Math Magic

最新推荐文章于 2022-10-16 04:57:01 发布

菠萝丶

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分类专栏：背包

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本文介绍了一种使用三维动态规划解决特定问题的方法，并通过滚动数组优化空间复杂度。通过预处理最小公倍数和枚举约数进一步提高效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $d p [i] [j] [k]$ 表示的是前 $i$ 个数，总和为 $j$ ，LCM 为 $k$ 的时候的种类数。

如果现在已知 $d p [i] [j] [k]$ ，那么我们可以求得下一个状态：

设下一个数为 $s$ ，那么 $d p [i + 1] [j + s] [l c m [k, s]]$ 状态可以由 $d p [i + 1] [j + s] [l c m [k, s]]$ 转移过来，故 $d p [i + 1] [j + s] [l c m [k, s]]$ 加上 $d p [i] [j] [k]$ 的值即可。

那么此题需要空间优化以及时间剪枝优化。

由于操作的是三维数组上下两层，故可以用滚动数组优化空间复杂度。

再一点的是：
对于 $d p [i + 1] [j + s] [l c m [k, s]]$ 。这个是由 $d p [i + 1] [j + s] [l c m [k, s]]$ 转移过来的，那么一定要满足以下条件：

$1 、 j + s < = n （ n 为总和）$

$2 、 l c m [k, s] < = m （ m 为所有数的 l c m ）$

对于上面第二条我们得知： $k$ 与 $s$ 一定是 $m$ 的约数，因为它们的最小公倍数是 $m$ ！

故预处理出 $m$ 的所有约数，然后枚举 $k 和 s$ 的时候，时间复杂度就会少许多。

然后就是还要预处理一下，在1000范围内的数，所有数的最小公倍数，因为之后 $d p$ 会用到。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int lcm[1008][1008];
int dp[2][1008][1008];
int fac[1008];
int n, m, k, cnt;
const int mod = (int)(1e9 + 7);
int gcd(int a, int b)
{
	if (b)
		return gcd(b, a%b);
	return a;
}
int main()
{
	for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
		for (int j = i; j <= 1000; j++) {
			lcm[i][j] = lcm[j][i] = (i * j) / gcd(i, j);
		}
	}
	while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k))
	{
		cnt = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			if (m%i == 0) fac[++cnt] = i;
		}
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
			dp[0][fac[i]][fac[i]] = 1;
		}
		int g = 0, t, tt, l;
		for (int i = 1; i < k; i++) {
			memset(dp[g ^ 1], 0, sizeof(dp[g ^ 1]));
			for (int j = i; j < n; j++) {
				for (int w = 1; w <= cnt; w++) {
					 t = fac[w];
					if (j + t > n) break;
					for (int q = 1; q <= cnt; q++) {
						 tt = fac[q];
						 if (!dp[g][j][tt]) continue;
						 l = lcm[t][tt];
						 if (l > m) continue;
						 dp[g ^ 1][j + t][l] += dp[g][j][tt];
						 dp[g ^ 1][j+t][l] %= mod;
					}
				}
				/*for (int w = 1; w <= cnt; w++) {
					 int t = fac[w];
					 if (!dp[g][j][t]) continue;
					 for (int q = 1; q <= cnt; q++) {
						 int tt = j + fac[q];
						 if (tt > n) break;
						int l = lcm[t][fac[q]];
						 dp[g ^ 1][tt][l] += dp[g][j][t];
						 dp[g ^ 1][tt][l] %= mod;
					}
				}*/
			}
			g ^= 1;
		}
		printf("%d\n", dp[g][n][m]);
	}
}