UVA 147 完全背包种类个数问题（含有一维、二维代码）

最新推荐文章于 2020-08-12 10:57:42 发布

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本文详细解析了UVA147题目中的完全背包问题，通过具体实例介绍了如何利用动态规划解决该问题，并提供了两种不同维度的代码实现。

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UVA 147 （完全背包的种类个数问题）

由于涉及到美元、美分，所以将全部金额乘以100之后，再进行完全背包的种类状态 $d p$ 即可。

先通过二维来分析出一维：

设 $d p [i] [j]$ 表示的是前 $i$ 个物品，能达到 $j$ 美元时的种类数。

对于初始化：
$d p [0] [j]$ 表示前 $0$ 个物品，在最大容量为 $j$ 的时候种类数。物品都是 $0$ 了，当然种类个数都是 $0$ 。
$d p [i] [0]$ 表示前 i 物品，在最大容量为 $0$ 时的种类数。由于容量为 $0$ ，那么我可以什么都不取，这也是一种情况（当然前 $0$ 个物品时，种类数也为 $1$ ，因为我本来就可以什么都不取）。

因为求的是最大种类数，而种类数的待定态为 $0$ ，因为种类数最少也就是 $0$ ，不是未知的，所以不能负无穷。
这样其他全部初始化为 $0$ ，即可。

那么对于二维，转移方程：
1、如果当前容量还不足以花费当前美元，那么 $d p [i] [j]$ 的种类数应该等于 $d p [i - 1] [j] 。$
2、如果当然容量够花费的话，那么由完全背包状态转移得知， $d p [i] [j - w [i]] 。$

由于二维中用于了上一层的状态，所以可以化成一维背包。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[13] = { 0,10000,5000,2000,1000,500,200,100,50,20,10,5 };
ll dp[30008], v;
double s;
int main()
{
	while (~scanf("%lf", &s))
	{
		if (s == 0)
			break;
		v = s * 100+0.5;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		dp[0] = 1;
		for (int i = 1; i <= 11; i++) {
			for (int j = a[i]; j <= v; j++) {
				dp[j] += dp[j - a[i]];
			}
		}

		printf("%6.2lf%17lld\n", s, dp[v]);
	}
}

这里为了对比二维状态，也给出二维的代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[13] = { 0,10000,5000,2000,1000,500,200,100,50,20,10,5 };
ll dp[30008], v;
ll f[12][30008];
double s;
int main()
{
    while (~scanf_s("%lf", &s))
    {
        if (s == 0)
            break;
        v = s * 100;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        memset(f, 0, sizeof(f));
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= 11; i++) {
            for (int j = 0; j <= v; j++) {
                if (j >= a[i])
                    dp[j] += dp[j - a[i]];
                printf("%d ", dp[j]);
            }
            putchar('\n');
        }
        putchar('\n');
        for (int i = 0; i <= 11; i++) {
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= 11; i++) {
            for (int j = 0; j <= v; j++) {
                if (j >= a[i]) {
                    f[i][j] += f[i][j - a[i]] + f[i - 1][j];
                }
                else {
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                }
                printf("%d ", f[i][j]);
            }
            putchar('\n');
        }
        printf("%lld %lld\n", dp[v], f[11][v]);
    }
}