图论学习笔记——求最短路长度之万用（大概）但不万能（O(n^3)）的Floyed|Floyd算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_42863338/article/details/86992251

本文深入解析Floyed算法，一种求解任意两点间最短路径的经典算法，涵盖算法原理、代码实现、优化技巧及应用案例，如路径输出与最小环问题。

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经典Floyed（弗洛伊德）算法

Floyed算法是最简单的求最短路的算法，这种算法可以计算出图中任意两点的最短路的距离，但是。。。经典Floyed算法的时间复杂度是O( $n^{3}$ )。。。如此高的时间复杂度也只能用来~~骗骗分了~~，已笔者目前的知识水平也只能将其优化至特定条件下最坏情况的时间复杂度为 $O(\frac{1}{2}n^{3})$ ，~~顶多骗一个点。。。~~

下面介绍一下传统的Floyed算法：

首先我们先定义一些量，dis[u][v]表示从u到v的最短路径长度，该算法使用数组模拟邻接矩阵的方式存图以w[u][v]储存连接u、v边的长度。

执行该算法的第一步我们需要将dis数组进行初始化为 $\infty$ ，用16进制来表示int（占用四个字节，含符号）的最大值为0x7fffffff。

该步骤可以通过循环实现，也可以使用cstring库（对应c语言的string.h）中的memset()命令将dis全部初始化成为一个接近0x7fffffff的值。例如：memset(dis,0x7f,sizeof(dis)); 但是为了防止数据溢出我们一般用memset(dis,0x1f,sizeof(dis));

接着，如果点u、v有边相连，则dis[u][v]=w[u][v],各位可以根据情况自行省略w二维数组。注：n为点的总数。

然后就可以。。。。

for(k=1; k<=n; ++k)
	for(i=1; i<=n; ++i)
		for(j=1; j<=n; ++j)
			if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j])
                                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];

然后dis[i][j]即为从i到j的最短路径的长度。。。嗯。。。揍四这么暴力。。。

简单的代码思路：

第一层循环表示中间点k，如果点i到点k的距离加上点k到点j的距离小于目前点i到点j距离的最优解，那么就将这个更短的路径长度作为点i到点j的距离的暂时最优解，这里的i和j可以互换。

那么在这里笔者需要强调的是，代码中的k也就是中间值必须要放在循环的最外层，~~这一点是毫无疑问的，可以通过简单的数学原理证得~~，咳。当然我知道我如果只是这么写你们肯定会打死我，这里我引用知乎上的高票回答来解答这个问题~~（我才不会告诉你们是我懒得打字了）~~。

以下引用自https://www.zhihu.com/question/30955032

采用动态规划思想，表示和之间可以通过编号为的节点的最短路径。
初值为原图的邻接矩阵。

则可以从转移来，表示到不经过这个节点。
也可以从转移过来，表示经过这个点。
意思即

然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为只与有关。

感谢知乎上这位匿名用户的回答

另外如果是无边权的图还可以申明bool类型的dis用于判断图中两点是否相连，然后把Floyed标准模板最里层循环替换成

dis[i][j]=dis[i][j]||(dis[i][k]&&dis[k][j]);

即可。

接下来，咳。

对Floyed的一些简单优化

~~众所周知~~,一个无向图的邻接矩阵是沿对角线对称的。那么我们就只需要算出一半的矩阵即可。

代码实现如下：

for(k=1; k<=n; ++k)
	for(i=1; i<=n; ++i)
		for(j=i; j<=n; ++j)
			if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j])
                        {
                                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                                dis[j][i] = dis[i][j];
                        }

乍一看是不是没有什么太大区别= _ =，其实就是把j=1换成了j=i，然后i和j调换位置对称一下，就能节省一半的时间。如果是有向图的题。。。~~那就哭去吧~~

前面我有提到在最坏的情况下，那么什么事最坏的情况呢？就是出题者把图画成了一个麻花，每两个点之间都相连。

试想一下，如果点i到点k之间走不通，我们还有没有必要继续讨论？ ——答案显而易见是否定的

结合针对无向图的优化，代码实现如下（inf为自定义的无限值【最大值】）：

for(k=1; k<=n; ++k)
{
	for(i=1; i<=n; ++i)
	{
		v=dis[i][k];
		if(v==inf) continue;
		for(j=i; j<=n; ++j)
		{
		    if(dis[i][j]>v+dis[k][j])
                    {
                        dis[i][j] = v+dis[k][j];
                        dis[j][i] = dis[i][j];
                    }
		}
	}
}

当Floyed遇上路径输出和最小环

注：在阅读本模块之前，请自行理解Floyed的动态规划本质（即上文中对知乎的引用部分）

最短路径输出

此处知识点引用自https://blog.youkuaiyun.com/olga_jing/article/details/49928443

红字部分为笔者注释

这里需要借助一个辅助数组Path，它是这样使用的：Path(AB)的值如果为P，则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。这样一来，假设我们要找A->B的最短路径，那么就依次查找，假设Path(AB)的值为P，那么接着查找Path(AP)，假设Path(AP)的值为L，那么接着查找Path(AL)，假设Path(AL)的值为A，则查找结束，最短路径为A->L->P->B。

那么，如何填充Path的值呢？很简单，当我们发现Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)成立时，就要把最短路径改为A->...->X->...->B，而此时，Path(XB)的值是已知的，所以，Path(AB) = Path(XB)。

根据笔者的理解，在使用之前还应当对Path进行初始化。

初始化的方式为，如果A,B两点是相连的，则设Path(AB)为A，设Path(BA)为B。有向图自行删减。

结合前文的优化，代码。。。~~讲真的我真的不想实现啊QAQ~~（初始化和读取略过）（遇到有向图可自行删减）：

for(k=1; k<=n; ++k)
{
	for(i=1; i<=n; ++i)
	{
		v=dis[i][k];
		if(v==inf) continue;
		for(j=i; j<=n; ++j)
		{
		    if(dis[i][j]>v+dis[k][j])
                    {
                        dis[i][j] = v+dis[k][j];
                        dis[j][i] = dis[i][j];
                        path[i][j] = path[k][j];
                        path[j][i] = path[k][i];
                    }
		}
	}
}

最小环问题

注意，Floyd算法不能解决存在负环的问题！！！

在解决最小环问题之前我们首先要知道在Floyd中找到最小环（至少有三个点）。

~~众所周知~~，Floyd的原理是通过不断寻找有没有一个中间值k使得从a->k->b的路径长度小于直接a->b的路径长度从而求出两点之间的最短路径长度的。那么，如果存在一中间点k同时与a,b相连，那么我们就找到了一个环:a->b->k->a,这个环的长度就等于点a到点b加上点b到点k再加上点k到点a的距离。

可是这样在Floyd中应该如何实现捏？

让我们再来想一想，题目要求的是最小环，如果a和b之间还存在更短的路程呢？

这样我们就能找到一个更优的答案了，a->...->b->k->a，这个环的长度就是ab之间的最短路径长度加上点b到点k的距离再加上点k到点a的距离。

那么现在有一个问题，如果刚好a->k->b就是a到b之间的最短路径长度怎么办（有向图自行类比）?

这个没关系，根据Floyd的原理我们可以很轻松的解决这个问题。

证明过程转载自https://blog.youkuaiyun.com/f_zyj/article/details/51940779

最小环改进算法的证明
一个环中的最大结点为k(编号最大), 与他相连的两个点为i, j, 这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中所有结点编号都小于k的最短路径长度. 根据floyd的原理, 在最外层循环做了k-1次之后, dist[i][j]则代表了i到j的路径中所有结点编号都小于k的最短路径综上所述,该算法一定能找到图中最小环。
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作者：f_zyj
来源：优快云
原文：https://blog.youkuaiyun.com/f_zyj/article/details/51940779
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根据上述证明我们就可以在Floyd的同时顺便算出最小环！

结合前文的无向图优化，代码实现如下，如题目需要输出具体路径。。。参考上一小节内容

w数组为保存图的数组，ans为最短环的长度，有向图可根据情况自行~~负优化~~修改：

	for(k=1; k<=n; ++k)
	{
		for(i=1; i<k; ++i)//continue until i=>k
		{
			v=w[k][i];//pay attention!!!This is "w"!!!not "dis"!
			if(v==inf) continue;
			for(j=i+1; j<k; ++j)
			{
				ans=min(ans,dis[i][j]+w[j][k]+v);
			}
		}
		for(i=1; i<=n; ++i)
		{
			v=dis[i][k];
			if(v==inf) continue;
			for(j=i; j<=n; ++j)
			{
				dis[i][j] = v+dis[k][j];
				dis[j][i] = dis[i][j];
			}
		}
	}

程序运行完成之后得到的ans就是最短环的长度，如果ans等于inf的话，说明最短环不存在。