ZOJ4040(唯一分解定理)

题意是给你一个数n，你要求用n的不同的因子组成的和,能从1开始连续到多少。
首先我们可以通过一个数的唯一分解求的其所有因子和,如下

这个公式还有另外一种变形：
$(p^{e+1}-1)/(p-1)$
$=(p^{e+1}-p+(p-1))/(p-1)$
$=p(p^e-1)/(p-1)+1$ (等比数列公式)
$=(p^{}+p^2+p^3.....+p^e)+1$
所以原式可以写成：
$(p_1^{}+p_1^2+p_1^3.....+p_1^e+1)(p_2^{}+p_2^2+p_2^3.....+p_2^e+1)....(p_k^{}+p_k^2+p_k^3.....+p_k^e+1)$
利用这个式子，我们把唯一分解式的前一部分看做一个数，把该部分加一个因子视为下一个数，看前一部分是否能在+1后大于等于下一个数（因为每次计算，1可以看做一个新的因子），能就继续，否则退出。

举个例子28=$2^2\ast 7$
一开始temp=sum=1，加入第一个因子2,temp=$2^1$，更新因子和sum+=2–>sum=3,
此时sum+1=$2^2$满足条件,继续加入第二个因子2,temp=$2^2$，sum=7。当遍历到
p[i]=7,7*7>28退出循环，此时n=7>1，因为此时sum>=7,所以可以连续表示到$sum\ast (n+1)=56$

还有一个地方就是，为什么只要用素数筛开出1e6的大小就够了，按理说sqrt(1e18)=1e9,应该开出N=1e9的素数筛才对。原因是这样的,当n很大时，如果n的因子里有很大的素因子时，它的因子和就很难连续。所以1e6就差不多了。

我看网上思路较少，我就分析了一下，如有纰漏，还请大佬们指正

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6;

int p[N/10],tot=0;
bool vis[N];

void prime(int n){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	int m=(int)sqrt(n+0.5);
	for(int i=2;i<=m;i++)if(!vis[i])
		for(int j=i*i;j<n;j+=i)vis[j]=1;
	for(int i=2;i<n;i++)if(!vis[i])p[tot++]=i; 
}

int main(){
	prime(N);
	int T;
	ll n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);	
		ll ans=1;
		for(int i=0;i<tot&&p[i]*p[i]<=n;i++){
			if(ans+1<p[i])break;
			int cnt=0;
			while(n%p[i]==0)cnt++,n/=p[i];
			ll temp=ans,mi=p[i];
			while(cnt--){	
				ans+=temp*mi;
				mi*=p[i];
				if(ans+1<mi)break;
			}	
		}
		if(n>1&&ans+1>=n)ans*=(n+1);
		printf("%lld\n",ans+1);
	}
	return 0;	
}