简单好理解的DFT

最近学了离散傅立叶变换，上课的时候没听懂，自己在课下琢磨了好些时候才弄明白了DFT的前世今生。我相信很多同学一开始都和我一样被DFS,DFT,DTFT,FT,DTFS,FS搞的晕头转向，又或者懂得做题，但对它们的物理意义以及如何推导一无所知，这样的学习我试过（上个学期学信号与系统的时候我就是这样的学习方式），这足以应付考试，考一个高分是没问题的，但对以后的研究生生涯或者科研是没有帮助的，抛开了考试成绩的假象，emmm。接下来就是我对DFT的理解了（因为是突然想写博客，没准备好，持续更新哈），希望能对诸君有所帮助吧。
1.DFS的定义
许多关于数字信号处理的教材都是用DFS来导出DFT的，所以DFS究竟是什么呢？它与DFT又有什么关系呢？我的理解如下：
先是离散时间序列x(n)(长度为N)作DTFT，然后以采样频率2π/N在频域采样，在时域上便产生了以N为周期的周期延拓(采样定理)。于是，时域和频域上都是离散序列啦, 计算机就可以处理了，这就是DFS。以下是具体的推导过程：