最全蓝桥杯省赛国赛知识点总结

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已于 2024-06-29 16:40:49 修改

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分类专栏：算法及数据结构文章标签：蓝桥杯

于 2023-06-12 23:03:17 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_42798343/article/details/131172402

写在开头： 读者们，俯听我一言：本篇文章全面的讲解了各个知识点，并且为每一个知识点提供了模板，只要掌握其中的要点，您轻松就能够获得省一。如果您在阅读过程中有任何疑问或者纰漏之处，请随时私信联系我，我的耐心答复必将令您满意🤩。

一、数论

1.判断质数

注意 $i$ 的终止条件本来是 $i <= s q r t (n u m)$ ,但是计算开方太慢了，所以用 $i * i <= n u m$ ，
但是 $i * i$ 容易爆int，所以最终改成 $i <= n u m / i$ ，后面的其他代码也会采用这种写法，希望不会搞晕。

 public static boolean is_prime(int num) {
   
   
        for (int i = 2; i <= num / i; i++) {
   
   
            if (num % i == 0) {
   
   
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

2.最大公约数

public static int gcd(int a, int b) {
   
   
        if (b == 0) return a;
        return gcd(b, a % b);
    }

3.最小公倍数

a和b最小公倍数是 $\frac{a*b}{gcd(a,b)}$ ,由于a*b可能爆int，所以采用先除再乘， $lcm(a,b)=\frac{a}{gcd(a,b)}*b$

	public static int lcm(int a, int b){
   
   
        return a/gcd(a,b)*b;
    }
    public static int gcd(int a, int b) {
   
   
        while (b != 0) {
   
   
            int r = a % b;
            a = b;
            b = r;
        }
        return a;
    }

4.筛质数

下面的两种方法可以得到 小于等于n 的所有质数。

要想一次性得到很多质数，那么就要使用质数筛法，质数筛法有很多方法，现在给出一种 埃及筛法。这种方法写起来比较简单，而且比较快，强烈推荐这种写法。时间复杂度是： $O (n l o g l o g n)$

public static void getPrimes(int n) {
   
   
        boolean[] is_prime = new boolean[n + 1];
        Arrays.fill(is_prime, true);
        for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
   
   
            if (is_prime[i]) {
   
   
                for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
   
   
                    is_prime[j] = false;
                }
            }
        }
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
   
   
            if (is_prime[i]){
   
   
                System.out.println(i);
            }
        }
    }

5.欧拉函数

欧拉函数：用于求小于等于n的数与n互质的个数是几个。
欧拉函数是积性函数，也就是 $f (a * b) = f (a) * f (b)$

	public static int f(int n) {
   
   
        int res = n;
        for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
   
   
            if (n % i == 0) {
   
   
                res -= res / i;
                while (n % i == 0) {
   
   
                    n /= i;
                }
            }
        }
        if (n > 1) {
   
   
            res -= res / n;
        }
        return res;
    }

6.区间欧拉函数

该代码用于求小于等于n的数，它们每一个欧拉函数值φ(n)。
此外，当n为质数时， $φ (n) = n - 1$

	public static int[] oula(int n) {
   
   
        int[] res = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
   
   
            res[i] = i;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
   
   
            if (res[i] == i) {
   
   
                for (int j = i; j <= n; j += i) {
   
   
                    res[j] -= res[j] / i;
                }
            }
        }
        return Arrays.copyOfRange(res, 1, n + 1);
    }

7.计算所有约数个数

12的约数有：1,2,3,4,6,12
所以12的约数个数是6

	public static int count(int n) {
   
   
        public static long getSum(int n) {
   
   
        long result = 0L;
        for (int i = 1; i <= n / i; i++) {
   
   
            if (n % i == 0) {
   
   
                result++;
                if (i * i != n) {
   
   
                    result ++;
                }
            }
        }
        return result;
    }
    }

8.计算所有约数和

12的约数有：1,2,3,4,6,12
所以12的约数个数是28

	public static long getSum(int n) {
   
   
        long result = 0L;
        for (int i = 1; i <= n / i; i++) {
   
   
            if (n % i == 0) {
   
   
                result += i;
                if (i * i != n) {
   
   
                    result += n / i;
                }
            }
        }
        return result;
    }

9.计算质因子个数

12的约数有：1,2,3,4,6,12
所以12的质约数个数是2

	public static void count(int n) {
   
   
        int count = 0;
        for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
   
   
            if (n % i == 0) {
   
   
                count++;
                while (n % i == 0) {
   
   
                    n /= i;
                }
            }
        }
        if (n > 1) {
   
   
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

10.扩展欧几里得

扩展欧几里得:用途是求解 $a x + b y = g c d (a, b)$ 中的 $x 和 y$ 的值
已知，gcd(a,b) = d, 则存在 x,y 使得 $a x + b y = d = g c d (a, b)$
特别的,如果a,b互质,当且仅当 $a x + b y = 1$
如果 $v\%d=0$ ,那么 $a x + b y = v$ 的解是 $a x + b y = d$ 的解的 $\frac{v}{d}$ 倍数

	public static int[] ex_gcd(int a, int b) {
   
   
        if (b == 0) {
   
   
            return new int[]{
   
   a, 1, 0};
        } else {
   
   
            int[] result = ex_gcd(b, a % b);
            return new int[]{
   
   result[0], result[2], result[1] - (a / b) * result[2]};
        }
    }

12.快速幂

Java中有Biginteger类，可以实现该操作。

	public static int quickPower(int a, int b) {
   
   
        if (b == 1) return a;
        int half = quickPower(a, b / 2);
        if (b % 2 == 0) {
   
   
            return half * half;
        } else {
   
   
            return half * half * a;
        }
    }

13.快速幂取模

Java可以用Biginteger类的power和mod方法，更方便。但是，这种思想也要掌握。

	public static int quickPowerMod(int a, int b, int c) {
   
   
        if (b == 1) return a;
        int half = quickPowerMod(a, b / 2, c) % c;
        if (b % 2 == 0) {
   
   
            return half * half;
        } else {
   
   
            return half * half * a;
        }
    }

14.欧拉定理

用 $φ (n)$ 表示n的欧拉函数值，那么：
欧拉定理：若a和n互质，则 $a^{φ(n)}=1(mod\ n)$
费马定理：若a和n互质，并且n为质数，那么 φ(n) = n-1，此时 $a^{n-1}=1(mod\ n)$

根据上面的两个定理，我们可以得到 a关于n的逆元：

若a和n互质，则 $a^{-1}(mod\ n)=a^{φ(n) -1}$
若a和n互质，并且n为质数，那么 φ(n) = n-1，此时 $a^{-1}(mod\ n)=a^{n-2}$

15.求a关于b的逆元

若a和n互质，则 $a^{-1}(mod\ n)=a^{φ(n) -1}$
若a和n互质，并且n为质数，那么 $a^{-1}(mod\ n)=a^{n-2}$

使用快速幂

$a^{-1}=quickPowerMod(a,n-2,n)$

	public static int quickPowerMod(int a, int b, int c) {
   
   
        if (b == 1) return a;
        int half = quickPowerMod(a, b / 2, c) % c;
        if (b % 2 == 0) {
   
   
            return half * half;
        } else {
   
   
            return half * half * a;
        }
    }
    public static int f(int a, int b) {
   
   
        return quickPowerMod(a, b-2, b);
    }

16.中国剩余定理

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是解决一类同余方程组的经典方法，它可以在同余方程组中减少运算的数量，从而提高计算效率。其公式为：

$\equiv a_i \bmod m_i,\ i = 1,2,...,n$

其中 $m_1,m_2,...,m_n$ 两两互质， $m_1 \times m_2 \times ... \times m_n$ ， $M_i = M/m_i$ 。则同余方程组的解为：

$\equiv (\sum_{i=1}^{n} a_iM_ix_i) \bmod M$

其中 $x_i$ 是 $M_i$ 在模 $m_i$ 意义下的逆元，即 $M_ix_i \equiv 1 \bmod m_i$ 。

注意，当 $m_1,m_2,...,m_n$ 不互质时，同余方程组中不一定存在解，此时需要进行合并或者降维（取模）等操作，转化为互质的情况，然后再使用CRT进行求解。

二、背包问题

1. 01 背包（采用状态压缩）

    public static void main(String[] args) {
   
   
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int M = scanner.nextInt();
        int N = scanner.nextInt();
        int[] value = new int[N + 1];
        int[] weight = new int[N + 1];
        int[] dp = new int[M + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
   
   
            weight[i] = scanner.nextInt();
            value[i] = scanner.nextInt();
        }
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
   
   
            for (int j = M; j >= weight