空间问题的简化（单调队列的圆环化直问题）

最新推荐文章于 2022-10-19 12:34:01 发布

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博客主要讲述空间问题的简化方法，一般将多维空间转化为较低维空间，通过压缩与转化简化问题。在二分法中，可将圆环类问题转化为直线型问题。还通过一个圆环数据问题举例，介绍了如何利用单调递减队列求解。

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空间问题的简化

在我们接触的空间问题中，一般由一维直线到一维曲线（圆环）再到二维平面，最后是三维甚至是多维空间，对于多维空间来讲，我们一般都是将其转化成较低维空间，我们可以对其进行压缩与转化，从而简化问题。
在二分法这里，会有一些圆环类问题，我们可以将其进行转化，将其变为直线型问题，这样做更有利于我们解题。
我们通过下面这个例子来简单看一下这个问题：
（我们可以在圆环数据进行循环时，将原来的nn换成2n进行简化）
题意:由n(10^6)个数据组成的圆环,数据为1和-1,问从一个点开始顺时针或逆时针,能遍历完所有点,并且保证中间过程中sum>=0。
分析:
假设从i点开始,这里仅考虑向左,必须保sum(j,i)>=0, i-n <j <= i.
设sum[i]表示从0到i点的和,即保证sum[i]-sum[j]>=0,即sum[i] - max(sum[j])>=0.
要求区间[i-n,i-1]最大值,维护单调递减队列即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2100000;
int n;
char a[N/2];
int num[N];
int sum[N];
int que[N/2];
bool f[N/2],f2[N/2];

void solve(bool t)
{
    int i;
    int head=1,tail=0;
    for(i = 1; i < n; i++)
    {
        while(head<=tail&&su m[que[tail]]<=sum[i]) tail--;
        tail++;
        que[tail] = i;
    }
    for(i = n; i <= 2*n; i++)
    {
        while(head<=tail&&que[head]<i-n) head++;
        while(head<=tail&&sum[que[tail]]<=sum[i]) tail--;
        tail++;
        que[tail] = i;
        if(sum[i]-sum[que[head]]>=0)
        {
            if(t)
                f[i-n] = true;
            else
                f2[i-n] = true;
        }
    }
}
int main()
{
    int i;
    int t;
    int cases = 0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(f2,0,sizeof(f2));
        sum[0] = 0;
        scanf("%s",a+1);
        n = strlen(a+1);
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            if(a[i]=='C')
                num[i] = 1;
            else
                num[i] = -1;
        }
        for(i = 1; i <= n; i++)
            num[i+n] = num[i];
        for(i = 1; i <= n*2; i++)
            sum[i] = sum[i-1] + num[i];
        int result = 0;
        solve(true);
        //reverse
        for(i = 1; i <= n; i++)
            sum[i] = sum[i-1] + num[n+1-i];
        for(i = n+1; i <=2*n; i++)
            sum[i] = sum[i-1] + num[2*n+1-i];
        solve(false);
        result = 0;
        for(i = 0; i < n; i++)
            if(f[i]||f2[n-i])
                result++;
        printf("Case %d: %d\n",++cases,result);
    }
    return 0;
}