梯度下降算法的工作原理

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介绍

梯度下降算法是工业中最常用的机器学习算法之一，但也是很多新手难以理解的算法之一。

如果你刚刚接触机器学习，那么梯度下降算法背后的数学原理是比较难理解的。在本文中，我将帮助你了解梯度下降算法背后的工作原理。

我们会了解损失函数的作用，梯度下降的工作原理，以及如何选择学习参数。

什么是损失函数

它是一个函数，用于衡量模型对任何给定数据的性能。损失函数将预测值与期望值之间的误差进行量化，并以单个实数的形式表示出来。

在对初始参数进行假设后，我们会计算了损失函数，以降低损失函数为目标，利用梯度下降算法对给定数据进行参数修正。下面是它的数学表示：

什么是梯度下降

假设你在玩一个游戏，玩家在山顶，他们要求到达山的最低点，此外，他们还蒙着眼睛，那么，你认为怎样才能到达最低点呢？

最好的办法是观察地面，找出地面下降的地方，从这个位置开始，向下降方向迈出一步，重复这个过程，直到到达最低点。

梯度下降法是一种求解函数局部极小值的迭代优化算法。

要用梯度下降法求函数的局部极小值，必须选择与当前点处函数的负梯度（远离梯度）方向。如果我们采取与梯度的正方向，我们将接近函数的局部极大值，这个过程称为梯度上升。

梯度下降最初是由柯西在1847年提出的，它也被称为最速下降。

梯度下降算法的目标是最小化给定函数（比如损失函数）。为了实现这一目标，它迭代地执行两个步骤：

1. 计算梯度（斜率），函数在该点的一阶导数

2. 在与梯度相反的方向上移动一步（移动）

Alpha被称为学习率-优化过程中的一个调整参数，它决定了步长。

绘制梯度下降算法

当我们有一个单一的参数（θ），我们可以在y轴上绘制因变量损失值，并在x轴上绘制θ。如果有两个参数，我们可以进行三维绘图，其中一个轴上有损失值，另两个轴上有两个参数（θ）。

它也可以通过使用等高线来可视化，这会显示一个二维的三维绘图，其中包括沿两个轴的参数和等高线的响应值。远离中心的响应值增加，并且随着环的增加而增加。

α-学习率

有了前进的方向之后，现在我们必须决定我们要采取的步大小。

必须谨慎选择，以达到局部最小值。

• 如果学习率太高，我们可能会超过最小值，而不会达到最小值

• 如果学习率太低，训练时间可能会太长

a） 学习率最优，模型收敛到最小

b） 学习速度太小，需要更多的时间，但会收敛到最小值

c） 学习率高于最优值，较慢速度的收敛（1/c<η<2/c）

d） 学习率非常大，它会过度偏离，偏离最小值，学习性能下降

注：随着梯度减小而向局部最小值移动，步长减小，因此，学习速率（alpha）可以在优化过程中保持不变，而不需要迭代地改变。

局部最小值

成本函数可以由许多最小点组成。梯度可以落在任何一个极小值上，这取决于初始点（即初始参数θ）和学习速率，因此，在不同的起点和学习率下，优化可以收敛到不同的点。

梯度下降的Python代码实现

结尾

一旦我们调整了学习参数(alpha)并得到了最优的学习速率，我们就可以开始迭代了，直到我们收敛到局部最小值。

参考链接：https://www.analyticsvidhya.com/blog/2020/10/how-does-the-gradient-descent-algorithm-work-in-machine-learning/

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