More Details about Kronig-Penny Model

摘要：Kronig-Penny模型是能带理论的经典模型，但大多数教科书仅止步于说明能带间隙的产生，而没有返回讨论波函数的定性分布情况。本文第一、二部分罗列了经典的求解过程，第三部分用数值计算的方法，重点讨论了特定能量下的波函数分布，给出直观的呈现，第四部分做定性半定量讨论。

0. Question

存在以上周期势场，求电子波函数分布？最后可以通过$b\to 0,U_0\to \infty ,b{U}_0=常数$来化简问题。其中的技巧是要用到布洛赫函数的性质：
$$\psi (x+T)=\psi (x)e^{ikT}$$
用人话表述是：晶体中电子波函数具有调幅的平面波形式。

1.Basic Equation

$-b<x<0$
$$\psi (x)=C{e}^{Qx}+D{e}^{-Qx},Q^2=\frac{2m(U_0-E)}{{\hslash }^2}$$

$0<x<a$
$$\psi (x)=A{e}^{iKx}+B{e}^{-iKx},K^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$$

$a<x<a+b$
$$\psi (x)=[C{e}^{Q(x-a-b)}+D{e}^{-Q(x-a-b)}]e^{ik(a+b)}$$

$x=0$处$\psi (x),\psi (x{)}^{\prime }$连续：
$$\begin{gathered} A+B=C+D \\ iK(A-B)=Q(C-D) \end{gathered}$$
$x=a$处$\psi (x),\psi (x{)}^{\prime }$连续：
$$\begin{gathered} A{e}^{iKa}+B{e}^{-iKa}=(C{e}^{-Qb}+D{e}^{Qb})e^{ik(a+b)} \\ iK(A{e}^{iKa}-B{e}^{-iKa})=Q(C{e}^{-Qb}-D{e}^{Qb})e^{ik(a+b)} \end{gathered}$$

有解条件是系数行列式为0，物理意义是这里的振幅没有归一化，全是成比例的，所以需要可约化。
$$[\frac{(Q^2-K^2)}{2QK}]sinh(Qb)sin(Ka)+cosh(Qb)cos(Ka)=cos(ka+kb)$$
为了简化问题，令$b=0,U_0\to \infty ,Q^2ab/2\equiv P $ ,即为周期性$\delta (x)$势场，也成为狄拉克梳。此时可化为：
$$\frac{P}{Ka}sin(Ka)+cos(Ka)=cos(ka)$$

2.More Details

为了便于数值求解，令$a=1,P=3\pi /2$,系数行列式可化为：
$$\frac{1.5\pi }{K}sin(K)+cos(K)=cos(k)$$

横轴表示$K$(能量)随逐渐变大，但等式右边的值必须介于$[-1,1]$否则得不到波矢量$k$的值，因此$K$的取值是有限制的，这就是解释了为什么会存在禁带。图中我们看到最小的能量在“1”处，对应$K=2.251$，这与自由电子最小能量从零开始是不一样的。“3”和“4”的波矢均为$\pi$，但两者存在能量差，这就是两分立能级间的禁带宽度。能带图如下：

一般我们只看第一布里渊区的能谱图。

3.波函数

为了更直观地表现粒子的运动状态，我们用数值计算“1”-"6"对应一个周期$[0,1]$内的波函数分布$|\psi (x){|}^2$。
$$\begin{array}{clcr}n& \text{K}& \text{cos(k)}& \text{k}\\ 1& 2.251& 1& 0\\ 2& 2.631& 0& \pi /2\\ 3& 3.141& -1& \pi \\ 4& 4.715& -1& \pi \\ 5& 5.428& 0& -\pi /2\\ 6& 6.280& 1& 0\end{array}$$
$$\psi (x)=A{e}^{iKx}+B{e}^{-iKx}$$
这里可先令$A=1,b=0.0001$，求得$B$:
$$B=\frac{e^{ik}(ibK-1)+e^{iK}}{e^{ik}(ibK+1)-e^{-iK}}$$
再对${\int }_0^1|\psi (x{)}^2|dx=1$做归一化。
$$\begin{gathered} \psi (x)=\frac{\psi (x)}{\sqrt{E}} \\ E=1+|B{|}^2+2sin(K)/K[real(B)\ast cos(K)+imag(B)\ast sin(K)] \end{gathered}$$
经过简单的数值运算，得到

4.Discussion

• 容易看出，第一能带有一个峰，第二能带有两个峰，当能量逐渐增大时，峰越来越往里“挤”；
• 第一能带由低能到高能，$k$由$0\to \pi$。第二能带由低能到高能，$k$由$\pi \to 0$；
• 相同的$k$值可以对应不同能带中对应的能量；
• 最后给个有趣的现象，当第一能带逐渐增大时，在$k=\pi$时有波形的突变，这也是和自由电子很不一样的地方，这也正是狄拉克梳势场的结果：
  
  结论对其他能带同样适用。
• 另外可以自行体会价带顶和导带底波形的异同点。