清北提高组精英班Day2

 

 

一、搜索

•搜索算法在OI中有着重要的作用

•解题

•暴力骗分

•对拍

•广度优先搜索

•深度优先搜索

•A*算法

•迭代加深搜索

•蒙特卡洛树搜索算法（AlphaGo）

（1）广度优先搜索

•Breadth First Search

•从一个状态开始同时扩展出数个后续状态，后续状态再继续扩展。

•核心用处：求解最短步数、图的遍历

•实现：队列

•优点：搜到的第一个可行解一定是最优解

•缺点：时间、空间消耗大

•算法核心：去重和记录状态

•在广搜中，去重是必要步骤，保证广搜的算法复杂度不会退化。而记录状态的方法则关乎到程序的时间复杂度、空间复杂度、代码复杂度（调试是否方便）。

•一个点扩展出多个节点，扩展顺序成树形的辐射状，新增节点数以指数级增长。

•层数越大，节点越多。到终点的最短路径只有一条，大部分节点是无用的节点。

双向广搜

•还是广搜的框架，同时从起点和终点开始搜索，搜到中间交会点时停止。

•有效地减少了无用点。

•注意区分重复状态和相遇状态

A*算法

•A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索方法，也是解决许多搜索问题的有效算法。算法中的距离估算值与实际值越接近，最终搜索速度越快。

•如何设计距离估算值是重点

•OI中（尤其是NOIP）不常用，作为扩展知识

•第k短路 POJ2449

•广搜占用空间和时间都很大，要优化常数，代码不能写太挫。

•去重方法：bool数组，hash，map(*)

•赛场上时间有限，选择合理的算法得到更多的分数。

（2）深度优先搜索

•Depth First Search

•递归实现，栈

•从一个状态开始一直往下搜搜到尽头，然后回溯。

•优点：占用空间小，深度大

•缺点：搜索范围大，不易找到最优解，大多数时候时间复杂度是指数级的。

可行性剪枝

•深搜的过程就是一个不断寻找更优解的过程，然而，有些分枝根本不可能得到一个解，这时候我们就需要把这些枝条“剪掉”，这也称为可行性剪枝。可行性剪枝把“不可行”的剪掉，所以提供的是一个必要条件。

•回到题目中，一个最基本的限制就是wi的和不能超过W。

排序

•我们都喜欢有序的东西，不喜欢无序的，因为有序总比无序要多一些性质可以利用。搜索过程也是一样。

•有几种排序的方法：1、体积从大到小排序，以更好地触发可行性剪枝。2、价值与体积的比值从大到小排序，以获得更大的单位价值。

最优性剪枝

•在剪枝里面，最优性剪枝最为重要，也是最难想、最多样的部分。一个好的最优性剪枝能对程序有着非常大的提升。

•之前提到，深搜的过程是不断寻找更优解的过程，那么一个判断解是否足够优的条件就是是否优于当前解。比当前已有的解劣的都是不够优的，应当剪掉。

•假设当前最优解的解为V，当前步骤搜索到的价值和为V’，若V’+后面所有草药的价值<V，则一定搜不到更优解

•正确性显然

•结合前面的剪枝，可以顺利通过这题。

迭代加深搜索与广搜

•层层递进的方法确实与广搜非常相像，但是迭代加深有个缺点，就是会有重复搜索的部分。但是迭代加深搜索的算法复杂度仍然是正确的呢？

•回忆一下广搜的辐射形搜索。

•层数越大，枝数越多，浅层的搜索相比之下只占很小一部分。

•迭代加深搜索是广搜与深搜思想的结合

•优点：层数可控（与广搜类似），空间非常小（深搜的优点）

•常用的深搜剪枝技巧：可行性剪枝、排序、最优性剪枝、重复性剪枝、利用初始条件……

•注意：一定要保证剪枝正确，一个跑得慢的程序在OI中要优于一个错误的程序。

•挖掘题目信息，注意数据范围，寻找剪枝的切入点。

•一个好的骗分暴搜对你的成绩有很大帮助

•多练

二、分治

•分治即“分而治之”。当一个问题过于复杂无法处理时，将这个问题分解成两个或多个同类的子问题，通过解决子问题来求出原问题的解。

•最简单的例子：二分，快排，归并排序

  分治的步骤：

1.分解。将一个大问题分解为若干个（对数情况下为两个）子问题求解。

2.解决。子问题分解到一定程度即可得出答案。

3.合并。将子问题的答案合并起来，得到原问题的答案。

分治能够实现的条件：

n问题被分解到足够小时能够解决

n对于一个问题，能够分为几个互不影响小问题分开解决

n子问题的解可以合并为一个问题的解

平面最近点对

•问题描述：在一个平面中给出n个点，求这些点中最近的一对

•直接暴力枚举O(n^2)

•N=100000?

•分治法？

•回想刚才分治需要满足的条件

•问题足够小能解决

•子问题互不影响

•子问题可合并

•满足！可以分治

•对于一个点集S，若点集大小为1，则无最近点对，最近距离d=INF

•若点集大小为2，则最近距离为两点距离

•若点集大小大于2，则进行分治。对横坐标进行排序。根据横坐标的大小选取一个点mid，以mid为分界分成两个点集S1与S2进行求解，然后合并答案

•对与第三种情况，记S1的答案为d1，S2的答案为d2，令d=min(d1, d2)。

•若最近点对同在S1或同在S2，则d为答案。

•否则，最近点对中一个点落在S1，一个点落在S2且两点之间的距离<d。

•根据以上分析，我们找到所有与mid点横坐标之差<d的点，进行后续操作。

•这时候是不是直接枚举mid两边的点，计算距离就可以了呢？

•特例：S1 S2中的点在一条直线上，这时所有点与mid的横坐标之差均<d

•结论：不能直接枚举

•换一个思路

•有序是我们喜欢的东西

•设这些点的个数为m，将这些点按照纵坐标大小排序

•对于点k，将计算k到k+1..m的距离，实时更新d值

•若纵坐标之差>=d，则退出循环，继续枚举下一个点

 

三、倍增

洛谷1967 货车运输

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct arr
{
	int adj, next, data;
};

struct ar
{
	int x, y, v;
};

bool operator < (ar a, ar b)
{
	return a.v > b.v;
}

const int inf = 1e9 + 5;
const int maxn = 100005;
ar b[maxn];
arr g[2*maxn];
int dep[maxn], F[maxn][20], G[maxn][20], f[maxn];
int n, m, q, x, y, top, a[maxn];

int getf(int t)
{
	if (f[t] == t) return t;
	return f[t] = getf(f[t]);
}

void dfs(int t)
{
	for (int p=a[t]; p; p=g[p].next)
		if (dep[g[p].adj] == 0)
		{
			F[g[p].adj][0] = t;
			G[g[p].adj][0] = g[p].data;
			dep[g[p].adj] = dep[t] + 1;
			dfs(g[p].adj);
		}
}

void prework()
{
	for (int j=1; j<=19; ++j)
		for (int i=1; i<=n; ++i)
			if (F[i][j-1] != 0)
				F[i][j] = F[F[i][j-1]][j-1],
				G[i][j] = min(G[i][j-1], G[F[i][j-1]][j-1]);
}

int query(int x, int y)
{
	if (getf(x) != getf(y))
		return -1;
	int ans = inf;
	if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	for (int i=19; i>=0; --i)
		if (dep[x] - dep[y] >= (1 << i))
			ans = min(ans, G[x][i]),
			x = F[x][i];
	if (x == y)	return ans;
	for (int i=19; i>=0; --i)
		if (F[x][i] != F[y][i]) //跳到不同点 
			ans = min(ans, min(G[x][i], G[y][i])),
			x = F[x][i],
			y = F[y][i];
	ans = min(ans, min(G[x][0], G[y][0])); //再跳一步 
	return ans;
}

void kruskal()
{
	for (int i=1; i<=n; ++i) f[i] = i;
	sort(b + 1, b + m + 1);
	for (int i=1; i<=m; ++i)
	{
		int x = getf(b[i].x);
		int y = getf(b[i].y);
		if (x == y) continue;
		g[++top].adj = b[i].x; g[top].data = b[i].v; 
		g[top].next = a[b[i].y]; a[b[i].y] = top;
		g[++top].adj = b[i].y; g[top].data = b[i].v; 
		g[top].next = a[b[i].x]; a[b[i].x] = top;
		f[x] = y;
	}
}	
		
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i=1; i<=m; ++i)
		scanf("%d%d%d", &b[i].x, &b[i].y, &b[i].v);
	kruskal();
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		if (dep[i] == 0)
		{
			dep[i] = 1;
			dfs(i);
		}
	prework();
	scanf("%d", &q);
	while (q--)
	{
		scanf("%d%d", &x, &y);
		printf("%d\n", query(x, y));
	}
	return 0;
}